平面填充曲线

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是的-有一些曲线填充平面而没有孔洞。然而，我只会在一个广场上展示这一点。这也同样令人惊讶。此外，可以看出，任何这样的曲线都必须是自相交的。

要快速了解此页面的内容，请单击右侧的小程序。请注意。绘制曲线需要时间。我本可以在后台这样做。但就我个人而言，我更喜欢看它被画出来，而不是思考最终结果。

这个第一条这样的曲线1890年由Guisepe Peano发现。小程序演示了两种结构：一种是D.Hilbert（1862-1943）的，另一种是E.H.Moore（1862-1932）的。B.Mandelbrot（参考文献1，第58页）称之为皮亚诺怪兽曲线（Peano Monster Curves），他收集了一系列语录来支持这个术语。

北亚。维伦金，1965年：一切都不稳定了！很难用语言表达这样的效果皮亚诺的结果影响了数学界。似乎一切都成了废墟，所有基本的数学概念都失去了意义。

H.Hahn，1956：【皮亚诺曲线】不可能被直觉掌握；只有通过以下方式才能理解逻辑分析。

J.Dieudonne，1975：一些数学对象，如Peano曲线，完全是非直观的。。。，奢侈的。

根据迪乌丹内的评论，皮亚诺最初的结构完全是分析性的，这一点很值得注意——没有绘画，更不用说苹果，来帮助任何人的直觉。

首先，让我描述一下如何生成曲线序列，其中的几个第一个成员由小程序显示。从第一张图所示的基本钉状形状开始。所有其他曲线都是使用相同的算法依次创建的。将上一条曲线收缩为其大小的一半。同时，将网格大小减小两倍。将曲线的四个副本放置在网格上。下面的两个必须按原样直接放置。上两个必须旋转四分之一圈-一个向左，另一个向右。最后，用短直线段将四段连接起来，得到下一步曲线。有时，连接段是水平的，有时是垂直的，但除此之外，结构很简单。

曲线变得越来越长，但由于始终可以从一个步骤移动到另一个步骤，因此该过程永远不会结束。正是由于这个原因，因此获得的曲线中没有一条能与你或我的印象相反地填满正方形。（让我顺便观察一下，通过构造，曲线没有一条是自交联的。）正方形是一条极限曲线，它的存在（或定义）一点也不明显。

我们可能想重新设计一下算法。让我们把从第一张图片移到第二张图片称为基本步骤。现在，与其将曲线缩小到一半大小，不如将注意力集中在构成工作正方形的4个小正方形上。忽略穿过小正方形边界的曲线片段，我们看到（从第二阶段开始）这些小正方形包含前一阶段绘制的曲线的小复制品，即第一张图片中的钉状形状。现在，对于每个小正方形，将其划分为四个较小的正方形，并应用于我们的每个基本步骤。结果将在第三张图片中描述。如前所述，当将曲线放置在较小的正方形中时，两个U形钉被放置在它们替换的较大U形钉的方向上，而其中一个U形针被向左转动，另一个U形钉则相对母钉的位置向右转动四分之一圈。该算法从实现的角度来看并不方便，但对于证明极限曲线的存在非常有用。

因此，我们从一条曲线开始（f）0: [0, 1]→[0, 1]×[0, 1]在间隔上定义[0, 1]具有值在广场上[0, 1]×[0, 1].（乘积表示法意味着正方形中的点有两个坐标，每个坐标都位于单位间隔内[0, 1].)将正方形划分为四个较小的正方形I00，我01，我10、和我11（如有必要，修改f0这样它就能映射[0, 1/4]到I中00,[1/4，1/2]到I中01等等。你可以通过想象间隔来说服自己这是可能的[0, 1]它是由柔软、柔韧的塑料制成的，可以拉伸而不会缩回原来的尺寸。因此，让t0，是f的点0，我的十字架00到I中01.保持端点0和1固定，但移动t0直到与1/4重合。的一部分[0，1]会被挤压，又会被拉伸。但让这些点保持其值。相同的程序适用于I的交叉点01到I中10现在，我们将点1/4保持不变，并且只操作较小的间隔[1/4, 1].我们可以继续以这种方式处理剩下的两个方块（实际上是一步处理这两个方块）

考虑一下我们中场休息的前四分之一（目前是[0, 1]).（f）0将其映射到I00我们将应用我们的算法，即分裂I00变成更小的方块和移动点[0, 1/4]直到该间隔的第一个四分之一映射到第一个小正方形，其第二个四分之四映射到第二个正方形，依此类推。当然，我们对我使用相同的程序01，我10和我11。通过这种方式，我们定义了一个函数（f）1:[0, 1]→[0, 1]×[0, 1]这样，当平方被分成16个相应排序的区间时（如我们的算法所建议的那样），f1地图[0, 1/16]进入第一个广场，[1/16, 2/16]进入第二个，依此类推。

啊，它比我想象的要长，但归纳起来，我们得到了一系列函数（f）0，f1，f2, ... 每一个都将单位间隔映射为单位平方。对于每个点t，其值f之间的距离n个和fn+1不超过第n步得到的平方的对角线-2·1/2n个或21/2牛顿重要的是，这种不平等适用于每一点t∈[0,1]，即均匀开启[0, 1].

我现在可以更正式一些了。我们有

|（f）n+m（t） -fn个（t） |<|fn+1（t） -fn个（t） |+…+|（f）n+m（t） -fn+m-1（吨）|

或者反复应用相同的不等式

|（f）n+m（t） -fn个（t） |<21/2-n+ 21/2-（n+1）+ ... + 21/2-（n+m-1）

总结几何级数，我们可以将其转换为

|（f）n+m（t） -fn个（t） |<21/2-n（1+2）-1+ ... + 2-（m-1）) < 23/2-n号

这意味着对于每个t∈[0,1]，我们都有一个柯西层序（f）0（t） ，f1（t） 。。。众所周知，这架飞机是完成表示序列收敛到单位平方中的一点的空间，我表示f（t）。这种融合是制服由于上述不等式同时适用于所有t∈[0,1]。根据分析的已知结果（参考4）一致收敛到连续函数的连续函数序列。因此，极限函数f（t）是连续的，即曲线。

关于曲线，我们至少可以说，通过构造，它可以任意接近任何曲线正方形中的点。因此，对于任何一点（x，y）在正方形中，可以选择一系列收敛到该点的函数f值。该值由序列t获取n个[0,1]中的点的数量。从这个序列中，可以提取收敛到一个点（例如t）的子序列。然后f（t）=（x，y）。它来自于定理依据L.Brouwer先生f不仅将线间距映射到一个正方形上，而且实际上是自交的。

函数f的构造方式正是我们将许多分形曲线：作为一致收敛连续函数的极限。重要的是要认识到，分形是曲线序列的极限，而序列中没有曲线。

对于希尔伯特曲线，甚至B.曼德尔布罗特，对该曲线的分形指定持保留意见。填充平面的特性使其Hausdorff维数2是整数，而不是分形。然而，它与分形曲线一样，如果不是更多的话，至少也是一种好奇。

  1. M.加德纳，Penrose瓷砖到Trapdoor密码W.H.Freeman and Co.，纽约，1989年。
  2. B.R.Gelbaum和J.M.H.Olmsted，分析中的反例1964年霍尔顿日
  3. B.Mandelbrot，自然的分形几何W.H.Freeman and Co.，纽约，1982年。
  4. L.Schwartz，分析数学，我，赫尔曼，1967年

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