图形基础

这些页面上有几个谜题(Sam Loyd的15分,滑块,幸运7,快乐8,布利特12) 借助图论可以更好地理解。虽然它没有立即提供所有的答案都为这些问题和许多问题提供了一个统一而有启发性的方法其他谜题和游戏。图论起源于1736年伦纳德·欧勒的论文《七座桥》这是欧拉描述问题的方式：

据我所知，这个问题如下：

在普鲁士的哥尼斯堡镇（现为俄罗斯加里宁格勒，评论是我的，CTK）有一个小岛A，叫做“克内普霍夫”，河的两条支流（普雷格尔）围绕着它流动七座桥，a、 b、c、d、e、f、，和克穿过两条树枝。问题是一个人是否能以这样一种方式计划一次步行，即他会跨越每座桥一次，但不超过一次。有人告诉我，虽然有人否认这样做的可能性，也有人对此表示怀疑，但没有人坚持这实际上是可能的。在上述基础上，我为自己提出了以下非常普遍的问题：考虑到河流的任何配置及其可能划分的支流，以及任何数量的桥梁，确定是否可以准确地跨越每座桥一次。

我想用图论的术语来简单证明不可能构造这样的通道稍后将介绍。您可以跳过它，稍后再返回此处，或者您可以通读，也许，获得对图论所提供的概括能力的独立见解。

  1. 图的顶点的度数之和是偶数
  2. 每个图都有偶数个奇数个顶点
    1. 如果奇数顶点的数量大于2，则不存在欧拉游走
    2. 如果奇数顶点的数量为2，则从任一奇数顶点开始存在欧拉游动
    3. 如果没有奇点，欧拉行走可以从任意顶点开始

欧拉将桥梁抽象为边缘把一块块土地变成节点的图表.


A类图表是以下内容的集合节点（也称为顶点)和边缘（也称为链接)每个连接一对节点.

就定义而言，这个不太好。至少有两个原因使它模棱两可。该定义取决于尚未定义的概念：收集和连接.

  1. 概念收集太基础了，不能在这里处理。这确实是惯例（以此为借口）回避定义收集通过简单地诉诸常识（比如，“集合是设置,聚合具有特定属性的对象将他们与其他人区分开来物体作为给定集合的成员。“）。我相信每个人都同意，只要这个概念被迅速用作一种工具（很像铅笔或a计算机)我们可以不深入细节，因为这肯定会转移我们对当前主题的注意力。

    但还要注意，定义边的两个节点可以合并为一个节点，也可以由多个边连接。因此，所讨论的“集合”不一定是设置，但更确切地说是多组.

  2. 第二个概念，即边是节点之间的连接，对于图论来说太重要了，不能让人凭直觉感知。更糟糕的是，通过滑入图形图来隐藏定义的模糊性，并立即诉诸直觉。下面两个图表上的图表是否相同？

 

因此，更具体地说边缘是1或2元素设置使用从顶点集绘制的元素。一个边缘被称为连接作为其元素的顶点。1元边，即两端重合的边，称为一环.

为了直观起见，我将使用图表。我相信，就他们的感知而言，这也是可以的至关重要。例如，上图中的两个图是当然相同的。

定义

  1. 图的两个顶点是相邻的如果它们属于同一个边缘。
  2. 边的元素称为事件到那个边缘。
  3. 同样，边与其元素关联。
  4. A类度顶点的数目是与之相关的边的数目(循环被数到两次）。
  5. 奇（偶）度顶点称为古怪的(即使).

命题（握手引理)

对于图，其所有节点的度数之和等于边数的两倍。

证明

节点阶数是指与该节点相关的边数。然而，每条边都与两个节点相关（或者，对于循环，两次与同一节点相关）。

推论1

对于一个图，它所有节点的度数之和是偶数。

推论2

在图中，奇数节点的数量是偶数。

下面的小程序旨在帮助您理解刚刚介绍的概念。要创建链接，请将鼠标从一个节点拖动到另一个节点。您可以在现有节点或其他任何位置按下或释放按钮。在后一种情况下，将创建一个新节点。如果选中“移动顶点”框，您将拖动顶点。链接的多重性由链接中间的整数表示。

如果您正在阅读本文，则您的浏览器未设置为运行Java小程序。尝试IE11或Safari并声明站点https://www.cut-the-knot.org在Java设置中是可信的。

图形基础

如果applet不运行怎么办？

小程序可能会提示另一个观察结果：奇数节点的数量总是偶数。实际上，所有节点度数之和是偶数。偶数节点的度数之和自然是偶数。从另一个节点中减去一个节点，我们可以看到奇数节点的度数之和也是偶数。

M.加德纳引用了美国海军医务官杰拉尔德·斯科恩菲尔德（Gerald K.Schoenfeld）的证据。让节点表示医疗会议的参与者。边缘代表两个参与者之间的握手。从大会开幕式开始，当与会者握手致意时，边缘被添加进来。一开始，边的数量是0，一个偶数。参与者被指定为奇数或偶数，这取决于他/她在给定时刻之前参与的握手次数的相等性。握手可以在三种配对之间进行：奇/奇、偶/偶和奇/偶。握手后，奇数/奇数对变为偶数/偶数，因此奇数参与者的数量减少了2。偶数/偶数对变为奇数/奇数，因此奇数参与者的数量增加了2。奇数/偶数对变为偶数/奇数，这不会影响奇数参与者的数量。我们看到，握手并不会改变奇数参与者数量的均等。因为一开始是平的，所以即使经过多次握手，它也会保持不变。


定义

  1. A类步行（或a路径)图上长度n的是序列v0，电子1，v1，电子2, ..., v（v）n个，其中v我是顶点，而e我是图的边，因此序列中相邻的顶点和边是事件.
  2. 步行v0，电子1，v1，电子2, ..., v（v）n个据说连接v0和vn个.
  3. 散步是关闭如果v（v）0n个.封闭式步行被称为周期.
  4. 不封闭的步行是打开.
  5. 散步是一种欧拉路如果图的每条边在遍历中只出现一次。
  6. 图形是有联系的如果每两个顶点可以通过行走连接。

提议

  1. 如果一个图有一个闭的欧拉游动，那么每个顶点都是偶数。
  2. 如果连通图的每个顶点都是偶数，则该图具有欧拉游动。
  3. 如果一个图有一个开放的欧拉游动，那么它正好有两个奇点。
  4. 如果一个连通图正好有两个奇点，那么它也有一个开放的欧拉游动。

参考

  1. S.Barr，拓扑实验，多佛出版社，1964年
  2. A.Beck，M.N.Bleicher，D.W.Crowe。数学之旅，A K Peters，2000年
  3. J.L.Casti，五大黄金法则，约翰·威利父子公司，1996年
  4. S.K.Stein，数学：人造宇宙，多佛（1999年1月26日）
  5. M.加德纳，短困惑和问题的巨著W.W.Norton，2006年，第27页
  6. R.J.特鲁多，图论导论纽约州多佛市，1993年。

在互联网上

  1. 组合对象服务器

旁白

科尼斯伯格是德国著名哲学家伊曼纽尔·康德（1724-1804）的出生地。我从未去过康德从未离开过的地方。第二次世界大战后，俄罗斯吞并了这片德国。我经常想知道康德是否应该被视为一位伟大的俄罗斯哲学家。波罗的海国家获得他们几年前脱离俄罗斯独立，该地区与俄罗斯完全没有直接联系。以下是加里宁格勒地图的一部分，与讨论相关：

如你所见，只有四座桥依然矗立着。如果在欧拉时代是这样的话，柯尼斯堡的市民就不会对一个引起欧拉注意的问题感到困惑。谁知道是什么事件触发了图论的发展以及什么时候。

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