远近事物：兄弟、姐妹和其他成员一个互不相爱的家庭。
近在咫尺而遥远的事物：天堂。
Sei Shonagon（生于965年左右），枕头书伊万·莫里斯译，《企鹅经典》，1967年。

想想看。一千年前，一个文化完全不同的人想出了一个概念今天可能会得到几乎所有人的支持。不幸的是，身体上的亲近往往不是道德或智力的反映接近。我们与一千年前出生的人有什么不同吗？当他们与你分享他们的想法和情绪时，你确实感到非常亲密和参与，不是吗？好吧，到目前为止，你可能会想，对于数学版来说，关于人性的讨论是否是一个明智的话题。我是否偏离了我想讨论的主题太远了？

我计划讨论距离的数学概念。你可能记得，也可能不记得，最常见的距离概念在某种程度上与勾股定理。但是读完导言，你不会惊讶于数学家也研究其他距离。然而，一旦他们意识到距离这个概念的真正重要性，他们就设法提取出它的三个最重要的属性。这些是公理属于距离。定义在集合上的两个变量的函数dist（A，B）(公制空间)M称为距离（a和B之间），前提是

 
1当且仅当A=B时，dist（A，B）≥0且dist（B，A）=0。(积极性)
2dist（A，B）=距离（B，A）(对称)
三。dist（A，B）+dist（B，C）≥dist（A，C）(三角形不等式)

让我们考虑几个例子。

  1. M=R，所有实数的集合。dist（a，b）=|a-b|，其中|x|是绝对值第页，共页。
  2. M=R2平面，即具有2个坐标的所有点的集合（x，y）。 距离1（（x）1，年1)，（x2，年2))=|x2-x个1|+|年2-年1|.这被称为城市街区或出租车距离.为什么？因为不总是可以偷工减料的。有时你只是尽你所能做到最好。要从中获取从第一大道和第四街的拐角到第三大道和第一街的拐角，无论你选择什么样的路线，你都必须经过5个街区。（城市街区距离有助于解决Sam Loyd的谜题。）
  3. M=R2.dist（距离）2（（x）1，年1)，（x）2，年2))=（（x2-x个1)2+（年）2-年1)2)1/2.这是众所周知的欧氏距离.
  4. M=R2.dist（距离）∞（（x）1，年1)，（x2，年2))=最大值{|x2-x个1|，|年2-年1|}.
  5. M=S2.平面中的一个圆（半径为1）。对于整个R，距离定义如前所述2.
  6. M=S2圆上的点用相应的中心角标识。距离dist一是这个角距离：假设角度在间隔中改变[0，即最小（非负）中心角对应于这两点。
  7. M=R三.dist（距离）1和距离2自然延伸到3维空间，或者更高维空间。
  8. M=C[0，1]-区间[0,1]上所有连续函数的空间。距离∞（f，g）=最大值|g（x）-f（x）|， x∈[0,1]。
  9. 豪斯道夫距离给出了集合之间的接近度。
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距离度量函数是测量的数学抽象。鉴于一个距离函数，我们可以回答几个常见的问题。B点比C点离A点远吗？点B和C与A的距离相等吗？什么是到A的距离正好是R的点的轨迹？数学上最后一个问题的答案是｛X:dist（X，A）=R｝-所有点X的集合，以便dist（X，A）=R。这是圆的推广（在R中2)和一个球体（R三). 习惯上将此集合称为球 S公司R（右）（A） ={X:dist（X，A）=R}半径R以A为中心。考虑一些例子很有启发性。

考虑距离由dist定义的平面1.什么是S公司1(0, 0)? 在其他单词，设置如何S公司1（0，0）={（x，y）：距离1（（x，y），（0，0））=1}看起来像？。从定义来看，S公司1（0，0）={（x，y）：|x|+|y|=1}。该集合是四条直线段的并集：x+y=1在第一象限，y-x=1在第二个，-y-x=1在第三个，和-y+x=1在第四节。这是一个轴上有顶点的正方形。

对于dist∞在平面上是球体S公司∞(0, 0)也是一个正方形，但现在它侧面与轴线平行。

观察一对点X和Y

 距离∞（X，Y）≤距离2（X，Y）≤距离1（X，Y）。

然而单元与三个距离对应的球体以相反的顺序包含。为什么？

因此，很明显，一旦在同一集合上定义了几个距离函数，表达式“距离两点之间”变得模糊不清。然而，正如上面的球体图所示，R中的点2在一个距离距离中“接近”∞，距离1，距离2将与其他人接近。更准确地说，以下是正确的：

提议

设一系列平面点a，a1，A2，A三, ... 是这样的距离我（A、Ak个)->当k趋于无穷大时，i为∞、1或2之一。那么i的其余值也是如此。

证明

该命题源自以下一系列不平等：

 距离∞（X，Y）≤距离2（X，Y）≤距离1（X，Y）≤2距离∞（X，Y）

现在是时候实现页面开头所做的隐含承诺了。考虑一下所谓的赤平投影.该名称源自R中的配置三但我将使用它的二维模拟。一个圆位于一条直线上。通过其北极O和点画直线并记下与圆的交点。因此圆上的点A、B、C对应于这些点x轴上的A'、B'和C'。这是直线上的点和没有北极的圆上的点之间的1-1对应关系。让我们定义后一组的距离，S公司2-{北极}，作为距离秒（X，Y）=距离2（X'，Y'）。很明显角距离接近一距离可能很远秒。若要查看此拾取点，请靠近杆的两侧，但位于杆的对面。

赤平投影是双向的。因此，公式距离对（X'，Y'）=距离一（X，Y）在R上定义一个新的距离函数1很容易看出，轴上有点距离，比如说距离2但距离很近对.

出租车/城市街区距离。

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立体投影

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