半圆中的另一个黄金比率

Boi Quang Tuán已在切割结数学facebook页面是一个简单的黄金比例构建。下面是一个三角测量的证明。证据2是带有Bi Quang Tuán的原件。

施工

在直径为$AB的半圆$（O）$中，$let$OBC$是一个等边三角形，$C$在$（O）上；$$$（O）$上的M$，$CM=\frac{1}{2} 不列颠哥伦比亚省。$将$N$定义为$AM$和$CO的交集$

Bui Quang Tuan的黄金比例，#2-施工

然后$\displaystyle\frac{CN}{NO}=\phi，$是黄金比率。

证据1

让角度$\alpha、$$\beta$定义如下，并假设半圆的半径为$1$

Bui Quang Tuan的黄金比例，#2，解决方案

在$\Delta OCM中，$$\displaystyle\sin\alpha=\frac{1}{4}，$表示$\disposystyle\\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4{$

由余弦定律在$\Delta BCM中，$$BM^｛2｝=BC^｛2｝+BM^{2} -2BC型\cdot BM\cos\alpha，$\displaystyle BM=\frac{\sqrt中的${15}-\sqrt{3}}{4}.$由正弦定律，$\displaystyle\sin\beta=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}.$可以验证$\displaystyle\cos\beta=\frac{3\sqrt{15}+1}{8}$

现在在$\Delta ANO中应用正弦定律：$$\displaystyle NO=\frac{\sin\beta}{\sin（60^{\circ}-\beta）}.$由加法公式,

$\开始{align}\显示样式\sin（60^{\circ}-\beta）&=\sin 60^{\scirc}\cos\beta-\cos 60^{\ circ}\sin\beta\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{15}+1}{8}-\压裂{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{15}-\方形{3}}{8}\\&=\frac｛\sqrt｛15｝+\sqrt｛3｝｝｛8｝。\结束{对齐}$

由此可见

$\显示样式NO=\frac{\sin\beta}{\sin（60^{\circ}-\beta）}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt}3}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

因此$\displaystyle CN=1-NO=\frac｛\sqrt{5}-1}{2} $和$\displaystyle\frac{CN}{NO}=\phi，$（根据需要）。

证据2

两个直角三角形$CDM\；$和$CMC'；$类似于：$\displaystyle\frac｛CD｝｛CM｝=\frac｛CM｝｛CC’｝=\frac｛1｝｛4｝\；$和$E\；$是$OC'的中点$

Bui Quang Tuan的黄金比例，#2，原始解决方案

由此，我们可以通过半圆半径计算配置中的所有线段，最后根据需要得到黄金比率。

黄金比例

|联系人| |首页| |目录| |几何图形| |向上|

71683701