切断结！

使用Java小程序的交互式专栏
亚历克斯·博戈莫尼

迷宫

2003年10月

很久以前，在爱荷华州的一家木匠店，我为我的第一台电脑买了一张未完工的桌子，这是IBM当地办事处的一笔赠款。我对35美元的价格感到惊讶。“撇开材料成本不谈，单是人工成本就应该比这高。”木匠自豪地回答道，“如果你知道如何切割和组装工件，那就不会了。”我总是记得这一集，当时我试图解决的一个问题有一个我一直没有找到的简单解决方案。

有很长一段时间，我想写一个电脑程序来画迷宫。我甚至也尝试了几次。但没有一个是令人满意或满意的。当它最终问世时，已经有了创建和解决迷宫的成熟技术，这可能是每个计算机科学专业本科生都知道的。事实上，网络上充斥着学生们在互联网上发布家庭作业的有据可查的例子。但当然。。。图形和迷宫是一回事，至少在某种意义上是一样的。需要注意的是，迷宫的表面复杂性不应该用肉眼来判断，而应该用肉眼来判断。可以称之为希尔伯特迷宫。（要查看该示例的所有精彩之处，请选中“迷宫”并继续单击下面的小程序。）

此小程序需要Sun的Java VM 2，您的浏览器可能会将其视为弹出窗口。事实并非如此。如果您想看到小程序的工作，请访问Sun的网站：https://www.java.com/en/download/index.jsp，下载并安装Java VM并使用小程序。

作为一个图表，希尔伯特的迷宫是微不足道的。只有两个顶点图表由单个连接边缘，后者是著名的平面填充曲线的正则近似。类似的观察结果适用于皮亚诺迷宫，尽管有272其中之一。奇怪的是，许多历史迷宫[杜德尼,加德纳,劳斯·鲍尔]都是这样的。这条小路蜿蜒曲折，从入口到出口的路程很长，但不用担心——在树篱中是不会迷路的。（然而，关于皮亚诺和希尔伯特的迷宫，人们可能会考虑限制迷宫的特性。路径仍然在那里，但通道太窄，挤不过去。如果可以的话，这将是一段漫长而可怕的旅程。这一情况值得芝诺注意。）

在复杂性上仅次于琐碎的迷宫是由树。树是从每个顶点到任何其他顶点都有一条路径的图。任何有联系的图形具有生成树也就是说，一棵树子图具有完全相同的顶点，但只有一些边。

有几种算法可以从给定的图中提取生成树。下面的小程序实现了其中两个。两者都有Prim的和Kruskal的算法于1956年出版。两者都是迭代的，并举例说明了贪婪策略，但方式不同。Prim的算法从一个顶点开始生长一棵树，这是最简单的树。在每次迭代时，它都会向现有的树中添加一个分支——一个顶点和一条边，将顶点连接到树上，这样生成的图形仍然是一棵树。为此，顶点不是从树上的顶点集中选择的，而是通过至少一条边直接连接到树上的。自然，每次迭代都会更新候选顶点集[列维京第305-309页]。

克鲁斯卡尔算法从所有顶点集和空边集开始。在每次迭代中，都会向集合中添加一条边。此过程中的唯一限制是添加边不应创建电路，一个路径以相同的顶点开始和结束。（设计了简单的结构和算法来加速验证，参见[列维京第314-317页）

事实上，情况比刚才描述的要复杂一些。两种算法都适用于权图，其中为每条边指定了权重。算法包括贪婪的在每次迭代中，他们从可用集中选择一条权重最小的边。生成的树称为最小生成树。（如果没有权重，产生的迷宫就没有吸引力。小程序几乎是随机分配权重的。）归纳法的简单证明表明算法确实有效。

解决迷宫的标准方法之一是深度优先搜索[列维京技术：从一个节点沿着一条路径走，直到到达一个死胡同。退回路径，直到第一次有机会检查另一个节点。从那里继续。重复该过程，直到访问完所有节点。

下面的小程序有四个选项卡-定义网格、定义形状、创建迷宫和求解迷宫。起点是尺寸范围为2到50的矩形网格。网格的形状可以通过删除一些顶点、将一些删除的顶点放回原处以及选择开始（蓝色）和结束（红色）顶点来更改。无论如何，必须单击顶点。如前所述，要创建迷宫，您可以选择Prim和Kruskal的算法。您可以通过单击“一步一步”按钮来观察它们的工作，或者使用“一步”键一次执行一步。您还可以观看迷宫的求解或一次执行一步（深度优先算法）。

英语单词“maze”，只有在14^第个世纪与道路网络联系在一起[施瓦茨曼]与更长的形式“amaze”有关。古时候有这样的说法[杜德尼惊愕意味着“陷入沉思”，这可能会在迷宫中自然发生一次。如今，当我们面临困境时，“迷宫”这个词仍然会浮现在我们的脑海中。“惊奇”一词现在有了不同的含义。参考这个词后来的、现在的习惯用法，一旦“你知道怎么做”，事情就变得很简单了，这当然令人惊讶

工具书类

H.E.Dudeney，数学中的乐趣1970年，多佛
M.加德纳，第二本科学美国人的数学困惑与转移书芝加哥大学出版社，1987年
A.莱维汀，算法的设计与分析，Addison Wesley，2003年
W.W.Rouse Ball和H.S.M.Coxeter，数学娱乐和论文1987年，多佛
S.Schwartzman，数学词汇，1994年5月

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Prim和Kruskal的算法确实有效。

证明的基础首先是最小生成树的存在性。任何连通图都有生成树的子图。事实上，如果给定的连通图本身不是树，那么它就有一个回路。从图中删除此回路中的任何边都会使其与相同的顶点相连，但边更少。如果在这个阶段，剩下的图是一棵树，我们可以停止。否则，边缘去除过程将继续。但是，由于边的数量是有限的，它不可能永远持续下去。如果|S|表示集合S中的元素数，则当|V|=|E|+1，因为，正如很容易看到的那样，这个属性是树的特征：对于连通图|V|=|E|+1，移除任何边都会使其断开连接。

对于加权图，生成树的数量，无论多大，都是有限的。因此，在给定图的所有生成树中，存在可能具有最小权重的树。

现在让我们来看一下这两个算法实现了承诺的证明，即每个算法都会导致给定图的最小生成树。将给定图的顶点集表示为V，将其边集表示为E_我和E_我表示在i上聚集的顶点集和边集^第个任一算法的步骤。我们给他们打电话<V_我，E_我> 可接受的如果它可以包含在最小生成树中。我们必须证明，在每一步，算法都会产生一个可接受的对。什么时候？|E类_n个|+1=|V|，图一定是一棵树，它包含给定图的所有顶点，因此，它是它的生成树。

由于这两个算法的证明非常相似，我将把它们安排在两列中。证据由归纳.

普林演算法		克鲁斯卡尔算法
在算法的每一步上，我们都有一组由边连接的顶点，这样它们形成的图就是一棵树。		在算法的每一步，我们都有一组边，这样它们形成的图形是无回路的。
让V₀由单个顶点（起点）和E组成₀为空。		让V（V）₀=V和E₀为空。
由于存在最小生成树，<V₀，E₀>是可接受的对。		由于存在最小生成树，<V，E₀>是可以接受的一对。
假设这对<V_k个，E_k个>在k上生成^第个步骤可以接受。为了完成证明，我们将展示这对<V_{k+1（千分之一）}，E_{k+1（千分之一）}>也是可以接受的。		假设这对<V、E_k个>在k上生成^第个步骤可以接受。为了完成证明，我们将展示这对<V、E_{k+1（千分之一）}>也是可以接受的。
相反，假设<V_{k+1（千分之一）}，E_{k+1（千分之一）}>不可接受。		相反，假设<V、E_{k+1（千分之一）}>不可接受。
假设存在最小生成树<V，F>带E_k个F的子集。假设e_{k+1（千分之一）}是Prim算法在（k+1）上选择的边^标准步骤。相邻e_{k+1（千分之一）}到F一定会产生一个电路。		假设存在最小生成树<V，F>带E_k个F的子集。假设e_{k+1（千分之一）}是Kruskal算法在（k+1）上选择的边^标准步骤。相邻e_{k+1（千分之一）}到F一定会产生一个电路。
这意味着存在另一条边e，其权重至少为e_{k+1（千分之一）}将其从F中删除将留下一棵树<V，F-｛e｝+｛e_{k+1（千分之一）}}>.后者的权重不能超过最小生成树的权重<V，F>因此，它也是最小生成树，但与我们的假设相矛盾的是，它的边集包含E_{k+1（千分之一）}.		这意味着存在另一条边e，其权重至少为e_{k+1（千分之一）}将其从F中删除将留下一棵树<V，F-{e}+{e_{k+1（千分之一）}}>.后者的权重不能超过最小生成树的权重<V，F>因此，它也是最小生成树，但与我们的假设相矛盾的是，它的边集包含E_{k+1（千分之一）}.

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