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亚历克斯·博戈莫尼

新娘的椅子

2003年8月

鉴于其在数学与应用，真是太棒了勾股定理(元素I.47)显然并不像人们预期的那样广为人知：

在直角三角形中，面对直角的一侧的正方形等于包含直角的两侧的正方形。

定理的图形表示在数学民间传说中以许多名称而闻名新娘的椅子，可能是最受欢迎的，但也是方济各头巾，的孔雀尾和风车。我认为，在俄罗斯，这个俗称相当实用：毕达哥拉斯长裤根据D.E.Smith[史密斯阿拉伯人称之为新娘的形象。他还提到[史密斯第290页]，参考E.Lucas的Récration数学希腊人称之为已婚妇女定理据说，虽然Bháskara说它是追逐已婚小女人.

（弗洛里安·卡乔里认为(Am数学月刊，f 6，第3期，1899年，第72页）新娘的椅子指定希腊语单词的误译数字“拜占庭13世纪作家应用于定理第个世纪。这个希腊单词有两个意思，“新娘”和“有翅膀的昆虫”带有三个正方形的直角三角形表示昆虫，但贝哈·埃丁显然把这个词翻译成了“新娘”。“可能是出于对这位著名数学家及其定理的尊重。）

在一本书关于哲学笔记和论文，R.Smullyan讲述了他教学生涯中的一段插曲（第21-22页）。画完图表后，他要求全班同学从小正方形和大正方形之和中选择较大的一个。“有趣的是，大约一半的学生选择了一个大的正方形，一半选择了两个小的正方形……当被告知这不会有什么不同时，两组学生都同样感到惊讶。”

欧几里德自己推广了这个图表(元素六、 31个)用其他形状替换正方形。Pappus已更换(数学集合，第四册)在任意三角形的边上画有任意平行四边形的正方形。

另一种泛化方法是保持边上的正方形，对三角形的角度有一个宽松的要求。欧几里德本人在《道具》中考虑了一个任意的三角形，其边上有正方形。他现存作品中的63幅数据.在19第个世纪（1817年），维克滕也研究了边上有正方形的任意三角形。

我们可以立即观察到Vecten的配置首先，“附加”三角形AB一C类一，Ab条不列颠哥伦比亚省b条，Ac（c）Bc（c）C的面积与ΔABC的面积相同[练习第736页，五百, #295]. 要查看这一点，请旋转（拖动滑块），例如ΔAB一C类一顺时针旋转90°直到B一与C一致。然后CA将用作ΔBCC'的中位数一将三角形分成两个相等的面积。（最近，R。韦伯斯特此外，旋转后，中值AM一将成为ΔBCC'的中线一，平行于其边BC，这意味着第二个性质，即同一条线用作ΔAB的中值一C类一高度ΔABC。它还可以已观察到那个AM一=BC/2，其他中间带也一样。

三角形AB一C类一，Ab条不列颠哥伦比亚省b条，Ac（c）Bc（c）C是已知作为侧翼ΔABC的。这种关系是对称的：三角形是其侧翼的侧翼。因此，例如，我们也可以声称，同一条线用作ΔAB中的高度一C类一以及ΔABC的中位数。我们可以重申如下。

设，对于ΔABC的三角形中心P，P一，Pb条、和Pc（c）用三角形AB表示其同名一C类一，Ab条不列颠哥伦比亚省b条，Ac（c）Bc（c）C.例如，G一代表三角形AB的质心（中间点的汇合点）一C类一我们有两个事实。

(1)AG公司一、BGb条和CGc（c）同意H，以及
(2)啊一，伯克希尔哈撒韦b条和CHc（c）同意G，

其中G和H是ΔABC的质心和正交中心。

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以下是的其他属性Vecten的配置，请参阅[练习第860-861页]：

  1. AA线b条和BB一在ΔABC的C高度上相遇[练习第225页]。

  2. AA线b条和CCb条垂直且相等。（这源自三角形ABA的同余b条和Cb条BC.）假设AAb条和CCb条在S点相遇b条并引入类似的S一和Sc（c）.

  3. A线c（c）C类一通过Sb条并在该点上平分一对角。（四边形AC一C类b条S公司b条是循环的，因为在C处有相反的角度一和Sb条均为90°。在外接圆中，角度ASb条C类一和ACb条C类一后者为45°，由同一和弦AC对向一因此，角度为ASb条C类一也是45°。）

  4. 管路AS一，英国标准b条、和CSc（c）并通过其中一个的中心维克滕方格.

  5. 让T一，T型b条、和Tc（c）表示Vecten平方BCA的中心c（c）A类b条等，然后是AT一是相等且垂直至Tb条T型c（c）.

  6. A类c（c）Bc（c）2+B类一C类一2+A类b条C类b条2=3（AB2+不列颠哥伦比亚省2+交流2) [练习第736页]。

（配置的几个附加属性列在单独的一页.)

恩斯特·威廉·格雷布是第一个调用AT的公共点一，英国电信b条和CTc（c）这个Vecten点。实际上有两个，这取决于正方形是否向外绘制（第一个Vecten点)或内在（第二Vecten点)关于ΔABC。

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通过以下方式获得了进一步的结果恩斯特·威廉·格雷布1847年，由F.van Lamoen于2001年扩建。

范·拉蒙（van Lamoen）在圆心和勒莫（Lemoine）点之间的友情

Grebe已经展示了[练习（第1181页），如果Vecten正方形的外侧延伸形成ΔA'B'C'，那么后者实际上与ΔABC相似。同调中心被称为莱莫恩点或（在德国）作为格雷布观点更中立，是悉尼人在ΔABC中，它也被称为symmedian点K。对于K，到ΔABC边的距离与边本身成比例[霍斯伯格第59页]，这就是格雷布定理有效的原因。

出于同样的原因，另一个三角形，即三角形O一O（运行）b条O（运行）c（c）由侧翼的圆心构成，也与K处的ΔABC相似。因此，O点和K点具有一定的关系F.van Lamoen（范拉蒙）术语友谊.

通常，中心P和Q为朋友如果ΔABC是ΔP的透视图一P（P）b条P（P）c（c）在Q。因为侧面关系，友谊也是对称的：如果ΔABC和ΔP一P（P）b条P（P）c（c）是Q处的透视图，然后是ΔABC和ΔQ一问b条问c（c）在P。

迄今为止所显示的是O和K是朋友，G和H也是朋友(1-2)很明显，我和自己成为朋友的动机。这并不是该属性的唯一点。

O.波特玛已注意到（请参阅F.van Lamoen的)A的中点Mb条B一 不依赖于C.

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此外，他证明了三角形AMB和Ac（c）MB（MB）c（c）都是右（在M处）和等腰。因此，点M是在AB上向内至ΔABC的正方形和在A上的另一个正方形的中心c（c）Bc（c）向内到侧面Ac（c）Bc（c）C.CM是ΔABC和ΔA中的C-cevianc（c）Bc（c）C在两者中扮演相同的角色。我们得出的结论是，位于这些天蝎座交叉点的第二个Vecten点是它自己的朋友。

给定三角形ABC两侧的类似等腰三角形是基珀特定理这表明基珀特三角形的外顶点构成了ΔABC的三角形透视图。Kiepert三角形完全由底角定义（f）（修订版对)在等腰三角形中，上述透视器被称为基珀特·珀斯切特K(（f）). 当然，第二个Vecten点是K(-对/4） ，其中减号表示三角形是向内构造的。

F.van Lamoen的证明了一个更一般的事实即基珀特护卫队K(（f）)和K（K）(对/2 -（f）)通过友谊联系在一起。特别是，费马点K（±对/3） 与各自的拿破仑点K（±对/6).

此外，由于第一个Vecten点不是其他正是K(对/4） 因此，第一个点和第二个点一样，Vecten点也会成为自己的朋友。

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对旧图表的适当修正。

（更多结果可在已引用的论文中找到F.van Lamoen（范拉蒙）和这个网站 .)

参考文献

  1. E.J.Barbeau、M.S.Klamkin、W.O.J.Moser、，五百个数学挑战，MAA，1995年。
  2. C.M.泰斯巴克，欧几里德的数据：被给予的重要性托斯卡拉努姆博物馆（2003年6月）。
  3. F.G.-M.公司。，Géométrie演习雅克·加贝（Editions Jacques Gabay），1991年
  4. R.Honsberger，十九、二十世纪欧几里德几何，MAA，1995年。
  5. C.普里查德，概述，英寸几何图形的变化由C.Pritchard编辑，剑桥大学出版社，2003年
  6. D.E.Smith，数学史，第二版，多佛，1958年
  7. R.Smullyan，公元前5000年和其他哲学幻想《圣马丁出版社》，1983年
  8. F.van Lamoen，三角中心之间的友谊,几何论坛 1（2001），第1-6页。
  9. R.韦伯斯特，新娘的椅子重访,数学公报 78（1994年11月），第345-346页。（重印于普里查德第246-247页）
  10. I.沃伯顿，新娘的椅子又回来了！,数学公报 80（1996年11月），第557-558页。（重印于普里查德第248-250页）

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