 |
|
Barbier定理
Minkowski加法的性质
总和的形状不取决于原点的位置。 当原点移动时，总和以相同的距离向相反的方向移动。 凸图形的和是凸的。 由于实现的特性，在上面的小程序中，即使加数不是凸的，总和也总是凸的。 事实上，显示的结果是 凸面船体 总额的一半。 这对于我的目的来说已经足够了，因为根据定义，等宽的形状是凸的。 任意方向和的宽度等于该方向加数的宽度之和。 当这两个图形是多边形时，这一点就很清楚了。 实际上，和是一个多边形，其顶点是作为加数的顶点之和获得的。 我们可能会要求更多。 称为凸图形及其支撑线的公共点 极端 垂直于支撑线的方向。 在任何方向上，它们都是一对（相对的）极值点。 小程序提供了一个令人信服的演示，即某些方向上的和的极点是由同一方向上加数的极点之和构成的。 例如，如果顶点23和11是和在某个方向上的极值点，那么我们可以确定，顶点2和1在该方向上对于“左”多边形是极值点，“右”多边形的顶点3和1也是如此。 （请注意，和的顶点标签是由两个加数的顶点标签串联而成的。） 假设与原始显示一样，“左”多边形是三角形012，而右多边形是四边形0123。 考虑多边形03-13-23，它只是Δ012的平移，以及四边形10-11-12-13，它只是0123的平移。 这两个顶点共享顶点13，该顶点是两个多边形在当前方向上的端点（其中23个用于“左”多边形，11个用于“右”多边形）。 和的周长等于加数的周长之和。 这对于多边形来说是显而易见的。 在最一般的情况下，n-gon和m-gon的和是（n+m）-gon。 此外，和的每一边都是相等的，并且与加数的n+m边中的一条平行。 如果n-gon的一条边与m-gon的另一条边平行，则和将有一条与任意一条平行的边，其长度为两条边的长度之和。 我们将此结果外推到更一般的凸集上，希望它们的周长可以充分定义为外接多边形周长的极限。 可以证明，如果两个凸图形的外接多边形具有平行的边和相同的方向，那么它们的和恰好是两个给定形状之和的外接多边[ 亚格洛姆 ，问题44]。 图形及其中心对称图像的总和具有中心对称性。
圆形是唯一一个宽度恒定的中心对称形状。 事实上，让等宽的形状具有 直径 （连接给定方向上两个极点的线）AB.AB必须穿过对称中心。 否则，其中心图像A'B'是同一方向上的另一个直径。 在平行四边形ABA'B'中，角度A或B之一不小于90°。 假设它是A，来自ΔBAB'， BB'>澳大利亚。 但这导致了一个矛盾，因为在恒定宽度的形状中，任何两点的距离都不可能超过其直径（任何方向的公共宽度） 因此，宽度恒定的中心对称形状的所有直径都通过对称中心。 由于对称性，每个直径都被该点分成两半。 因此，形状不仅有直径，也有半径。 这是一个圆圈。
首先，K+L是具有恒定宽度2D（乘以3）的形状。 K+L是一个圆（由5和6组成）。 K和L的周长之和为 第页 ·2D（乘以4）。
工具书类
M.加德纳， 意外的悬吊和其他数学转移 芝加哥大学出版社，1991年 R.Honsberger， 数学的灵巧性 ，MAA，新数学图书馆，1970年 H.Rademacher和O.Toeplitz， 数学的乐趣 ，多佛出版社，1990年。 I.M.Yaglom和V.G.Boltyansky， 凸面图形 霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1961年
凸集
Helly定理 Helly定理的首次应用 等宽形状的交叉线构造 恒定宽度的形状（交互式Gizmo） 等宽形状的星形构造 凸多边形是半平面的交点 Minkowski凸形加法 凸多边形的周长，一个在另一个内 Barbier定理 A.Soifer的书，P.Erdos的猜想，B.Grunbaum的反例 扩展的Reuleaux三角