什么是证据？

毫无疑问数学证明.但什么是证据？

我们可以从中学习这个单词的词源数学词汇作者：S.Schwartzman：

证明（名词），证明（动词）：拉丁形容词探针意思是“正直、诚实”，来源于印欧语系每-“forward，through”有许多其他含义。派生动词遗嘱认证意思是“尝试，测试，判断”。这个动词的一个意思后来包括测试某物的成功结果，所以证明意思是“测试并发现有效性。”批准对于某些东西，你测试它并发现它是可以接受的。在像数学这样的演绎系统中，证明只在一劳永逸地验证假设的意义上检验假设。19年初第个世纪美国教科书，证明在词源意义上使用了“check，verify”；例如，乘法是通过去掉九来“证明”的。

在演绎系统中，单词证明获得了更明确的含义。例如，根据哈珀·柯林斯数学词典:

证明 n个.一系列陈述，其中每一个陈述都是从其前面的陈述中有效推导出来的，或者是一个公理或假设，其中的最后一个成员结论，是由此确定真理的陈述。

同样，企鹅数学词典规定

证明使用推理规则的推理链，最终基于一组公理，从而得出结论。

作为一个伟大的法国数学家把它放进去,当我们给出定义时，就是使用它该网站充满了数百个已解决的问题和已证明的定理。还有专门的简单证明、和（主观上）迷人的证据，有一个集合吸引人的事实用不起眼的证据和无辜的不法行为证据。甚至还有没有文字的证明。该网站还解释了三段论并提供了刘易斯·卡罗尔的索丽特斯.

有许多误解关于证据。常见的教育术语“段落校对”或“两栏校对”有点误导，经常会导致“如何教授（学习）校对？”这个问题通常表示两种不同活动的混淆：寻找校对和交流校对。前者是一门艺术，后者是一种技能。现有的证明可以用散文写，也可以用公式或不用公式，也可以分为两列。以这种或那种方式使用是一个品味和惯例的问题。对于那些掌握了寻找证据艺术的人来说，学会这样做是一项容易管理的任务。因此，真正要问的问题是“如何教授（学习）证明？”

我对这个问题的回答是“从最简单的开始”。证明一个陈述就是通过论证以令人信服的方式证明它的有效性（或真理）。反驳一个陈述就是揭示其虚假性，也许可以通过例子，或者通过证明其真实性否定。通常，反驳一个陈述所需的全部工作就是找到一个反例即满足陈述条件、前提但不满足其结论的示例。出于这个原因，反驳某事可能更容易开始。

这些例子陈述了明显的错误，看起来可能很愚蠢，但它们可能有助于消除证据中的神秘面纱。

声明：所有圆都相等。这是错误的，因为两个圆，一个半径为1厘米，另一个半径1公里，明显不同。虽然很简单，我们刚刚证明了一个定理：并非所有圆都相等。（最后，我们将证明一个在现场多次使用的定理，该定理声称所有圆都是相似的。）

声明：对于任意两个整数a和b，如果a<b然后一2<b2.乍一看，这句话似乎是真的，但事实并非如此。反例是由一对（多个中的一对）A=-1，b=0给出的。的确，-1 < 0根据声明条件的要求。但结论是1 = (-1)2< 02= 0显然是错误的。仔细想想，要求a和b为正的修正语句可以证明是正确的。

证明通常是一个多步骤的过程。你可能不会马上看穿它。但是，作为梅森用这样的话来说，“……陷入困境是一种可敬的状态，也是改善思维的重要组成部分。”

有时一开始就被卡住了，不知道从哪里开始。在这一点上值得相信（更好了知道但这需要经验）证明，就像其他类型的问题解决一样，是一种可管理的技巧。为了维持这种信念，采取一种引爆证据的策略是非常重要的。这就像是在准备远足。最好的策略是准备一份旅行中有用或绝对必要的物品清单，例如[禅宗与摩托车维修艺术，第4章]。当你打包物品时，你会在清单上核对一下。在每一个时间点，你都确切地知道什么已经存在，什么还没有。非常方便。

雷·布拉德伯里，著名作家华氏451度和火星编年史在他的写作艺术中的禅宗建议一位初露头角的作家：

从十二岁开始，我每天至少写一千字（第15页）。。。每天读诗歌。诗歌是好的，因为它可以锻炼你不经常使用的肌肉（第36页）。。。数量带来经验。仅凭经验就能获得质量。（第123页）。。。因此，一个人的自卑感往往意味着由于缺乏经验而在一项工艺中产生真正的自卑。（第127页）。。。

关于产生想法，他写道（第17页）：

……这些年来，我开始列出书名，写下长长的一行名词这些清单是挑衅，最终导致我更好的东西浮出水面。。。列表如下所示：

湖泊。夜晚。CRICKETS乐队。野蛮人。ATTIC。地下室。活板门。婴儿。人群。夜班火车。雾号。水晶。卡尼瓦尔。马车。矮人。镜子罩。骨骼。

我开始在列表中看到一个模式。。。

在定理证明和问题解决中，使用（操作）列表。这里有一个问题——你是做什么的？首先，确保你理解这个问题[波利亚，第6-7页，泽伊茨，第29页]。用几个问题检查一下自己：

  • 未知的是什么？
  • 数据是什么？
  • 数据中隐含着什么？
  • 情况如何？
  • 我见过类似的问题吗？

为了帮助回答这些问题，画一张图。问问自己，问题中或在你看来在一般的问题解决中，特别是在定理证明中，确实有策略和战术。波利亚的战略是继续沿着四个步骤

  1. 了解问题
  2. 制定计划
  3. 执行计划
  4. 回顾过去

第一步，询问例行问题在第二个阶段，根据第一阶段的结果，想出一种可以用来解决问题的方法。这通常来自您可以使用的方法列表（来自[克拉姆金]):

（有关更多信息，请参阅上的页面问题解决策略与策略.)

执行计划的最后一部分是你决定如何提出证据或解决方案。最后一步——回顾过去——是在教育和教学方面最重要的证明和解决问题的艺术。这是一个人学习最多的时候。

但你必须学会，这是无法逃避的：抱怨无济于事。伟大的荷兰艺术家M.C.Escher写道[罗伯茨第216页]参考H.M.S.Coxeter的几何导论:

…胡言乱语的高度抽象。。。当然，我一个音节都听不懂，除了每章开头的一些有趣而深刻的观察。

然而，我们了解到[同上]，“当埃舍尔的创造力停滞不前时，他克服了障碍，就像数学家解决棘手的问题一样——固执。数学家提出的问题总是唠叨和纠缠不休，他们会不断地解决问题，直到真理、解决方案出现（或者企业崩溃并证明不可能）。”

工具书类

  1. E.J.Borowski和J.M.Borwein，哈珀·柯林斯数学词典Harper Perennial，1991年
  2. R.Bradbury，写作艺术中的禅宗：创意随笔，卡帕出版社，1993年
  3. H.S.M.Coxeter，几何学导论约翰·威利父子公司，1961年
  4. J.Daintith，R.D.Nelson（编辑），企鹅数学词典，企鹅出版社，1989年
  5. M.Klamkin，问题解决中的数学创造力，第73-95页在夏娃的圈子里，MAA，1994年
  6. J.梅森，数学思维，Addison-Wesley，1985年
  7. H.Poincaré，科学与方法，多佛出版社，2003年
  8. R.M.Pirsig，禅宗与摩托车维修艺术，哈珀（现代经典），2005
  9. G.波利亚，如何解决，普林斯顿大学出版社，1957年第2版
  10. S.Roberts，无限空间之王，Walker&Company，2006年
  11. D.Ruelle，数学家的大脑普林斯顿大学出版社，2007年
  12. S.Schwartzman，数学词汇，1994年5月
  13. P.Zeitz，问题解决的艺术和技巧，John Wiley&Sons，1999年

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