什么是几何？

几何也许是最基本的科学，它使人类能够通过纯粹的智力过程（基于观察）对物理世界做出预测。从这些推论的准确性和实用性来看，几何学的力量令人印象深刻，并且是研究几何学中逻辑的强大动力。
H.M.S.考克塞特(1907-2003)
也许可以断言，几何学没有什么困难可能会给聪明的初学者带来严重障碍，除了新学习开始时总是出现的暂时尴尬。。。
A.德摩根(1806-1871)
而且，对于几何学来说，直到很晚以前，它都没有位置（在大学里），因为它只服从于僵硬的真理。如果说任何一个人凭借自己天性的独创性在其中达到了任何程度的完美，那么他通常被认为是一个魔术师，他的艺术是恶魔般的。
托马斯·霍布斯(1588-1679)

几何图形是数学的一个分支，研究几何物体的构型特性-点，（直）线、和圈子是其中最基本的。尽管这个词几何学源自希腊语地理（接地）和地铁（测量）[话]柏拉图已经知道区分建筑中的测量艺术和哲学几何学[斐莱布篇(57)]. 对话的早些时候[斐莱布篇（51）]，苏格拉底提到了美的问题：

 

我所说的形式美，并不是指动物或图画的美，许多人认为这是我的意思；但是，这个论点说，请理解我的意思是直线和圆，以及由车床、尺子和角度测量仪所形成的平面或立体图形；因为这些东西，我肯定它们不仅像其他东西一样相对美丽，而且永远绝对美丽，而且它们有着特殊的快乐，与抓挠的快乐截然不同。

在另一个对话中-菲得洛斯（274）苏格拉底将几何学的创造归因于居住在埃及瑙克拉底斯城的图斯神，尽管这是一门其他艺术。说实话，斐德罗斯马上对苏格拉底的说法提出了质疑：“是的，苏格拉底，你可以很容易地编造埃及或其他国家的故事。”但即使不是来自神，几何学的对象也无法在物质世界中找到。它们是纯净的摘要人类思维的创造。

公元前300年左右，欧几里得给出经得起两次考验的点和线的定义千百年的勤奋学习19世纪的数学家第个 发现他们缺乏根据欧几里德的说法，一点是没有部分的.作为F.Klein[克莱因，第196页]指出，“一个点决不是由这个性质单独决定的。”根据欧几里得，线条是长而无宽.即使长度和宽度被公认为基本概念，欧几里德的定义与曲线的存在覆盖表面的[克莱因第196页]。根据欧几里德的说法，直线是相对于其点均匀分布的直线，哪个是克莱因[同上]发现完全模糊。克莱恩用了相当长的篇幅来揭示和解释欧几里德的缺陷元素B.Russell给出了一个不那么仁慈但仍然很容易理解的批评，可以在C.Pritchard的几何图形的变化[普里查德第486-488页]。例如，克莱因指出，如果没有信仰的飞跃，那么从欧几里德的假设中就无法推导出这样一个简单的命题，比如说两个圆各自穿过另一个圆的中心，在两个点相交。

现代数学找到了两种方法来弥补这些不足，并将几何学建立在坚实的基础上。首先，数学家完善了欧几里德的公理化方法元素他们意识到，试图定义以下基本概念是不可能的，事实上也是徒劳的点和线.英寸解析几何另一方面，两者点和线完全可以定义。然而，解析几何不包含“几何公理”，建立在集合和数字理论之上。

在几何学公理化方面最有影响力的工作是由于希耳伯特(1862-1943). 在几何基础他列举了21条公理并分析了它们的意义。希尔伯特平面几何公理可以在附录中找到[塞德伯格第205-207页]以及G.D.Birkhof的非正统但简短的公理化[Birkhof公司,塞德伯格第208-209页]，以及后来受Birkhof的影响，受S.M.S.G.（学校数学研究小组）的影响[塞德伯格第210-213页]。（学校数学研究小组成立于20世纪60年代，是为了回应苏联太空计划的成功以及美国数学教育需要改进的意识。这一努力导致了现在已经失效的新数学程序.)

不像欧几里德的元素现代公理理论并不试图定义其最基本的对象，点和线就几何形状而言。原因现在很明显：所有可能的定义显然都会包括更基本的术语，这需要它们自己的定义，以此类推。相反，对基本要素的理解，即。未定义，术语建立在它们在公理中的使用及其从随后证明的定理中产生的属性之上。例如，关于通过任意两点的直线的存在性的主张，关于这样一条直线的唯一性的主张或关于两条直线至多在一个点相交的主张，告诉了我们关于点和线的一些信息，但没有真正定义它们是什么。（前两个是希尔伯特公理I.1和I.2，而最后一个是前两个公理的结果。）

上段中未定义术语的用法当然符合我们对术语含义的预期和直觉点和线然而，依赖直觉可能会产生误导，例如射影几何，根据二重性原则，公理和定理中两项的所有出现都是可互换的。

因此，现代几何学是一个完整的抽象概念，它具体化了我们对物理世界的概念，也就是说，首先。我说“从开始”，因为大多数建立在所选公理之上的大厦并不反映我们的共同经验。处理抽象对象的数学家发展了对数学对象所居住的抽象世界的直觉和洞察力。尽管如此，他们的直觉和交流想法的需要通常是通过几何结构的图形表示培养的，其中点通常由点表示，直线使用直尺和铅笔绘制。必须理解的是，无论铅笔有多锋利，绘画只是抽象形态的表现。在放大镜下，绘图中的线条会显得不那么细，它们的交点看起来甚至不像一个被认为代表抽象点的点。

 

如果可能的话，无论放大倍数有多大，在我们的脑海中放一个放大镜都不会改变点和线的外观。这可能与欧几里德对他试图定义的对象所赋予的含义没有太大不同。区别不在于几何物体的成像，而在于后来认识到，定义不仅不总是可能的，甚至可能不需要构建理论。

作为一个预防措施，这些图表在几何调查中提供了一个重要的工具，但可能表明错误事实如果没有演绎推理。(更糟的是，错误的演绎推理可能会意外地导致正确的事实，在这种情况下，您可能会忘记获得正确事实的轻浮方式。）

第二种解决元素随着解析几何这是笛卡尔和费马的伟大发明。平面内解析几何，例如，点是定义例如，作为有序的数字对，（x，y），而直线是依次的定义作为满足线性方程组的点集，请参见D.佩多伊或D.Brannan等人.

有许多几何图形。所有这些都有一些基本元素和属性。即使是有限的几何学也处理点和线，通常只有一条线可以通过两个给定的点。因此，我认为一个经常使用的术语“出租车几何”是一个误称。这个出租车公制是一个有用的数学概念，它将平面转化为度量空间-以多种方式中的一种。但这并不能使其成为几何体。

工具书类

  1. G.D.Birkhoff和R.Beatley，基础几何，AMS切尔西出版社。，2000, 3第个版本
  2. D.A.Brannan、M.F.Esplen、J.J.Gray、，几何图形，剑桥大学出版社，2002年
  3. J.N.Cederberg，现代几何课程，施普林格，1989年
  4. A.De Morgan，论数学的学习与难点2005年，多佛
  5. D.希尔伯特，几何基础，公开法庭，1999年
  6. T.霍布斯，利维坦，ch.46，企鹅经典，1982
  7. B.乔维特，柏拉图对话兰登书屋，1982年
  8. F.克莱因，从高等角度看初等数学：几何2004年，多佛
  9. D.佩多，几何学：综合课程1988年，多佛
  10. C.Pritchard（编辑），几何图形的变化，剑桥大学出版社，2003年
  11. S.Roberts，无限空间之王，Walker&Company，2006年
  12. S.Schwartzman，数学词汇，MAA，1994年

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