勾股定理的类比与推广

勾股定理是数学最基本的结果之一。使用该定理，我们定义了欧氏距离距离₂.距离的概念延伸到具有标量积的空间-希尔伯特空间。

校对##13,17、和18给了我们定理的平面推广。下面我认为模拟它保存在$3$-维空间$\mathbb{R}^{3}.$中该语句导致了$\mathbb｛R｝^｛3｝中欧几里得距离的定义。$之后，$\mathbb{R}^{3}中还有一个额外的、意想不到的类似定理$

当给定矩形中对角线的两边时，可以很方便地将勾股定理视为定义对角线在矩形中的长度。现在考虑一个边为$a、$$b、$和$c的平行六面体。$首先，所讨论的对角线是由边$c$和面$ab的对角线形成的直角三角形的斜边。$根据勾股定理，后者等于$\sqrt｛a^｛2｝+b^｛2｝｝。$第二次应用它时，对角线的长度为$\sqrt{a^{2}+b^{2{+c^{2neneneep}$

当我们从$2$维空间移到$3$维空间时，基于正交段构建的形状的对角线公式几乎保持不变，只是术语的数量从$2$s增加到$3,$（视情况而定）。然而，在这两种情况下，平方都是线段。勾股定理有一个类似的公式，其中平方是三角形的面积。

该定理适用于一种特殊的四面体，其中从一个顶点发出的所有三条边彼此垂直。人们可以通过从平行六面体切角来获得这样的金字塔。让我们介绍包含直角的面的区域$A、B、C$，并让$D$成为剩余面的区域。我们有

$A=qr/2，$$B=rp/2，$$C=pq/2$

我想显示的是$A^{2}+B^{2{+C^{2neneneep=D^{2neneneei$

通过$p$画一个垂直于$a.$的平面，然后$k$和$h$都将垂直于$a此外，$A=ak/2.$因此，

$\开始{align}4D^{2}&=a^{2} 小时^{2}\\&=a^{2}（k^{2{+p^{2neneneep）\\&=4A^{2}+a^{2} 第页^{2}\\&=4A^{2}+（r^{2{+q^{2neneneep）p^{2neneneei\\&=4A^{2}+（rp）^{2{+（pq）^{2}\\&=4A^｛2｝+4B^｛2｝+4C^｛2｝\结束{对齐}$

Q.E.D.公司。

哎呀，我差点忘了余弦定律这是勾股定理的明确推广。对于边为$a、$$b、$和$c$且角为$c$与边为$c相对的三角形，$one有

$c^{2}=a^{2{+b^{2neneneep-2ab\cdot\cos（c）$

反过来，也承认一般化到更高维的空间。

如今，单一身份所表达的事实出现在欧几里德的元素作为两个独立的命题：II、 12个钝角三角形和二、 13个对于急性病患者。

斯科特·布罗迪博士来自纽约西奈山医学院的证明定理和动力学Geometer的SketchPad插图.

工具书类

G.波利亚，数学发现约翰·威利父子公司，1981年。

|联系人| |首页| |目录| |概括| |几何图形|

71660472