拿破仑定理，
概括

拿破仑·波拿巴的一个定理是跟随：

在给定（任意）三角形的每一侧描述一个给定三角形外部的等边三角形，并将由此获得的三个等边三角形的中心连接起来。显示生成的三角形也是等边的。

已经是了指出定理允许几个概括。特别是，等边三角形可以替换为类似的三角形任意形状的三角形。这听起来比拿破仑定理本身更令人惊讶。在这里，我想考虑进一步的概括，使其他两个非常明显。

	从两个相似的三角形（黑色）开始。在连接其相应顶点的每条（橙色）线上，构造彼此相似且方向相似的三角形（红色），使其（橙色）基底相互对应。然后，这些三角形的三个自由顶点形成一个类似于原始两个三角形的三角形。（请参见GeoGebra插图.)		(1)
	在给定相似三角形的两个顶点重合的特殊情况下，只需要一条（橙色）线连接两个三角形的顶点。其他两对由三角形的边连接。在顶点连接线上构造了三个相似的等腰三角形。
	改变观点，注意ΔABC两侧我们只识别出两个相似的三角形（在ABC的下两侧是厚厚的黑色）。为了消除这种不平衡，我们构造一个与其他两个（粗黑）类似的附加（和伪）三角形（细黑）

后者说明了拿破仑定理的最一般的重新表述。三个人相似的三角形可以有各种形状，此外，允许一个三角形连接任意三个相应的三角形点（而不仅仅是质心）以获得第四个类似三角形。（在图表上，我将类似等轴索三角形的顶点作为三个对应点。）

（1）比这样的概括更有吸引力。毕竟，我们所做的只是构建类似的三角形。在构建了一系列相似的三角形之后，期待另一个相似的三角形似乎很“自然”。还可能是什么？

然而，（1）仍然需要证据。有一个证据是基于螺旋相似性.A类螺旋相似性是一个产品（或a总和，或a作文（如果愿意）两个平面变换：

假设旋转中心和同调中心重合。在这种情况下，我们与给定的中心、给定角度和给定比率。螺旋相似性与（1）的相关性基于以下直观上可接受的事实（当然，其证明留作练习）

如果对于形状F的每个点，都对应一个形状F'的点，并且这些图形中的相应线段具有恒定的比率r并形成恒定的角度a，则F和F'通过与比率r和角度α的中心相似性相关联。

（但有一个警告：如果r=1并且α = 0,我们有一个翻译而不是。在下面的证明中，我忽略了这种可能性。翻译总是一个特例，相应的证明比螺旋相似性更简单。）

因此，任何两个相似的三角形（尤其是（1）中的厚黑色）都可以通过螺旋相似性从彼此获得。当然，旋转和同调是螺旋相似的特殊情况。既然我们已经开始讨论到目前为止所讨论的完全角度结构中的旋转，那么下面的引理可能就不那么令人惊讶了：

假设有两个圆R和R'在点M和N处相交（右侧的图表仅描述了一种可能的情况。）通过M画一条线l，让a和a'分别表示其与R和R'的其他交点。在AA'上，完成与给定三角形GHI类似的三角形AA'C。根据我的不同，根据上述规定轨迹点C是一个圆。

引用先前的讨论,ANA’会不取决于l的位置。此外，所有三角形ANA’彼此相似。特别是，NA:NA'的比率并不取决于因此，A'是通过与中心N、角度ANA'和比率NA:NA'的螺旋相似性从A得到的。此转换采用圆R（点A的轨迹）在R'（点A'的轨迹）上

出于同样的原因，ANC不依赖于l的位置（因为NAC没有这导致了这样的断言，即变化l会导致相似的三角形ANC。）比率NA:NC也不依赖于l。因此，C是从A通过中心N、角度ANC和比率NA:NC的螺旋相似性。此相似性转换将圆R变成C.QED追踪的一个圆。

假设在引理中，A跟踪的不是一个圆，而是一个三角形XYZ。围绕XYZ外切一个圆，然后根据证明，我们看到第一个变换将ΔXYZ映射为一个类似的三角形ΔX'Y'Z'。当然，第二次变换也是如此：如果A停留在ΔXYZ上，点C的轨迹就变成了一个类似于ΔXYZ的三角形。这证明了（1）！
我们刚才证明的结果是直接相似图形的基本定理，其中实际系数替换为复数（我很感谢史蒂夫·格雷（Steve Gray）引起我的注意。）

71688971

拿破仑定理，概括