梅内劳斯定理：丑陋与优雅的证明
A.爱因斯坦的观点
在一个讨论上梅内劳斯定理我们介绍了两个证明：一个简短的例子和另一个需要付出更多努力的例子，但对定理和几何学其他部分之间的相互作用有了一些见解。不久前我看到一个帖子梅内劳斯定理的一个丑陋而优雅的证明Antreas P.Hatzipolakis在地理学院新闻组。该消息引用了中的一篇文章数学。智能手机他评论了阿尔伯特·爱因斯坦和他的朋友马克斯·韦特海默之间的通信。在第一封信中，爱因斯坦显然继续讨论数学证明的优雅性。证明可能需要引入额外的元素，如第一个引用的证据爱因斯坦认为，“……只有当我们觉得每个中间概念都与要证明的命题有关时，我们才完全满意。”
为了说明他的观点，爱因斯坦给出了同一命题的两个证明——一个丑陋，另一个优雅。奇怪的是，他证明的命题是梅内劳斯定理的命题，他认为丑陋的证明是引用的证据他写道，“虽然第一个证明有些简单，但并不令人满意。因为它使用了一条与要证明的命题的内容无关的辅助线，并且证明毫无理由地偏爱顶点A，尽管命题相对于A、B和C是对称的。然而，第二个证明是对称的，可以直接从图中读出。”
我将爱因斯坦的第二个证明修改为我以前使用的符号。它使用的原理是，具有公共（或补充）角度的两个三角形作为相邻边的乘积相关联。（按照古人的方式，爱因斯坦在这里指的是两个三角形的面积之比，并指的是一个公式，该公式给出了两个边的面积与它们之间夹角的正弦乘积的一半。）我们选择由三角形的各个顶点与相应的线段组成的三角形作为这些三角形横向的:ΔAEF，以及（通过循环变换从中衍生出来的）ΔBFD、，ΔCDE。我们有
| (1) | 面积（Δ澳大利亚能源基金)/面积（ΔBFD公司) =空军·EF公司/高炉·DF公司. |
如果将此方程与通过循环变换从其导出的方程相乘，我们将得到
| (2) | 1 =空军·BD公司·总工程师/高炉·光盘·不良事件, |
按要求.
优雅，如同美丽，在旁观者眼中。我在一点上同意爱因斯坦，在另一点上不同意。AP线似乎是一个人工构造，因为它破坏了定理的内部对称性。然而，我想我不介意使用辅助结构。第二行中的附加行引用的证据帮助将梅内劳斯定理与同调变换及其性质联系起来（这一点出乎意料）。（4旅行者问题和其中一个它的证明作为另一个例子，引入附加元素会带来相当大的好处。该证明为二维问题添加了一个三维框架，使整个图片成为一件艺术品。）
又一个证据[F.G.-M.公司。第84页]将元素添加到原始图表中。与证明#2一样，它也是以对称的方式进行的。它使这个定理变得微不足道。
画一条垂直于横向EDF的线。让它在点K处与后者相交，并将该线上顶点A、B、C的投影表示为K一，Kb条、和Kc（c）分别是。众所周知，由一系列平行线切割在两条线上的线段具有相同的比率。将ΔABC的边线与刚构造的线一次配对一条，我们得到：
| | AF/BF=K一K/K公司b条K、 BD/CD=Kb条K/K公司c（c）K、 CE/AE=Kc（c）K/K公司一K、， |
所以很明显
| | AF/BF·BD/CD·CE/AE=K一K/K公司b条K·Kb条K/K公司c（c）K·Kc（c）K/K公司一K=1。 |
Ram Tobolski观察到，额外的线不必垂直于横向。只需通过三角形的顶点绘制三条与横截面平行的线，然后绘制与所有顶点相交的任何直线即可。
爱因斯坦的证明用于(1)这个正弦公式表示三角形的面积。对三角函数的依赖性使得一个简单的证明不适合初一几何的学生。这一点是由查尔斯·沃拉尔（Charles Worrall）向我提出的，他是纽约市霍勒斯·曼学校（Horace Mann school）的一名高中老师。在他的课堂上，梅内劳斯和塞瓦的定理甚至出现在关于相似性的讨论之前，因为相似性可能已经消除了正弦函数的必要性。尽管如此，Charles还是找到了以下解决方法(1)避免三角和相似性。
查尔斯提出了以下建议
引理
设（XYZ）表示三角形XYZ的面积。然后，参考上图，
| |
（美国广播公司）
（AED） |
| = | AB×AC
AE×AD |
|
|
证明
因为成对的三角形共享一个高度，
| |
（作业成本法）
（计轴评估器） |
| = | AB公司
不良事件 |
|
| 和 |
（计轴评估器）
（AED） |
| = | 自动控制
AD公司 |
|
|
将两者相乘即可完成证明。
引理允许获得其乘积（在一些取消后）导致(2).
工具书类
- 亚伯拉罕·卢钦斯（Abraham S.Luchins）；伊迪丝·卢钦斯（Edith H.Luchins）：爱因斯坦-沃特海默（Einstein-Wertheimer）关于几何证明和数学难题的通信。数学。智能手机12，No.2，35-43（1990）。
- F.G.-M.公司。，Géométrie演习雅克·加贝（Editions Jacques Gabay），1991年
梅内莱厄斯和塞瓦
