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亚历克斯·博戈莫尼

梅内劳斯定理

1999年11月

我的上一列遭受明显的疏漏。我引用了Dan Pedoe的话，

Ceva和Menelaus的定理自然地结合在一起，因为前者给出了通过三角形顶点的直线相交的条件，而后者给出了三角形边上的点共线的条件,

然后继续讨论了Ceva定理的一个很好的证明。梅内劳斯定理再也没有被提及过。这一次，我想把它归功于后者。下面是两个并排的定理：

塞瓦定理

三个Cevian AD、BE和CF同时存在

(1)	AF/FB·BD/DC·CE/EA=1

持有。

梅内劳斯定理

设三个点F、D和E分别位于ΔABC的AB、BC和AC侧。那么这些点是共线的iff

(2)	AF/BF·BD/CD·CE/AE=1

乍一看，（1）和（2）表达了一个完全相同的事实，即三角形三条边上线段的三个比率的乘积等于1。现在，如果（1）和（2）是相同的，它们怎么能等同于这两个本质上不同的事实？塞瓦定理和梅内莱厄斯定理所揭示的事实确实不同。这里有一个问题，但也有一个答案的线索。

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这两个定理都允许点D、E和F不仅位于ΔABC的两侧，而且也位于它们的扩展上。事实上，Menelaus定理要求，由于明显的事实上，一条直线不可能在三角形的三条边上都相交。(作为旁白在1945年的一次俄罗斯数学竞赛中，一个男孩并不认为这个事实是显而易见的。由于这一洞察力，他获得了一等奖，尽管他没有解决任何一个问题。）

在三个点D、E或F中，没有、一个、两个或全部三个可能位于三角形外部的侧边延伸部分。如果1或3个点位于扩张上，我们就得到了Menelaus定理。在其他两种情况下，定理是Ceva的。然后，这些定理的公式似乎出现了问题。例如，梅内莱厄斯应该读

设三个点F、D和E分别位于ΔABC或其延伸部分的AB、BC和AC侧。假设只有一个或全部三个点位于侧延伸部分。如果（2）成立，则这些点共线。

尽管繁琐，但必须首选后一种提法，当然，除非有更好的方法来纠正这种情况。常用的方法通过考虑带符号的段按照惯例，对于任何两个点P和Q，PQ和QP表示不同符号的分段，使得PQ=-QP。（也可以在PQ线上指定一个方向，从而为每个段赋予适当的符号。无论选择什么方向，我们都应该PQ=-QP，这是目前唯一重要的关系。）一般来说，两段（在同一条线上）看着同一个方向有相同的标志，那些看着相反的方向有不同的标志。

对于A、F、B三个点，如果F位于A和B之间，则AF/FB比率为正，如果F在线段AB的延伸上，则比率为负AF/FB=-AF/BF对于Ceva定理，要么所有三个点D、E和F在内部位于相应的线段BC、CA和AB上，要么其中一些点位于线段扩展上，即外部。因此，在（1）中，要么所有三个比率都为正，要么正好有两个比率为负。在这两种情况下，产品都是1。对于Menelaus定理，（1）中的乘积为负，而对于Ceva定理，（2）中的积为负。

如果我们倾向于对两个定理使用相同的乘积，那么有两种可能性：

塞瓦：	AF/FB·BD/DC·CE/EA=1
梅内莱厄斯（Menelaus）：	AF/FB·BD/DC·CE/EA=-1

塞瓦：	AF/BF·BD/CD·CE/AE=-1
梅内莱厄斯（Menelaus）：	AF/BF·BD/CD·CE/AE=1

（当平方时，塞瓦和梅内莱厄斯条件自然重合。奇怪的是，这就是它们如何在统一证明基于四人行问题。在一项关于极/极关系在三角形中。）

Ceva定理中的直线AD、BE和CF称为塞维昂人该定理给出了三个Cevian并发的充要条件。直线通常称为横向的，横向的强调它与另一个形状的关系。梅内劳斯定理给出了三个点（三角形两边各一个）位于横截面上的充分必要条件。一个三角形中的Cevian是另一个三角形中的横坐标。例如塞维安语BE在ΔADC中起横向作用，而CF在△ADB中是横向作用。写出两个三角形的条件（2）：

DB/CB·CE/AE·AK/DK=1，DC/BC·BF/AF·AK/DK=1。

将AK/DK从两个身份中删除并重新使用符号约定(CB=-BC（等）努力应导致（1），这表明梅内劳斯定理暗示了塞瓦定理。（更准确地说，这表明（1）适用于三个相交的塞维昂人。反之亦然标准方式通过荒谬的论证进行还原。梅内劳斯定理中的充要条件也以类似的方式相互遵循。）这些定理实际上是等价的。但这个事实值得单独讨论.

梅内劳斯定理有很多证明。我只给两个。一条是在所需的构造方面最经济的（仅仅是一条额外的线），另一条强调了定理和其他几何概念之间意想不到的联系。

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证据#1

绘制平行于DE的AP。三角形ABP和BDF与三角形ACP和CDE相似。第一对给予AF/BF=PD/BD，第二个AE/CE=PD/CD将两者结合得到（2）。

证据#2

从ΔABC的顶点开始，在横向上垂直下降。考虑三对相似三角形AH_一F和BH_bF、中国_c（c）D和BH_bD、和AH_一E和CH_c（c）E.从这些我们得到

AF/BF=AH_一/伯克希尔哈撒韦_b，BD/CD=BH_b/中国_c（c），CE/AE=CH_c（c）/AH（AH）_一.

将三者相乘得到（2）。

“后退”的步骤或多或少以一种标准的方式得到了证明，就像它所做的那样塞瓦定理.

设三个点，使AF/BF·BD/CD·CE/AE=1成立。相反，假设这些点不共线。随便挑两个。说出D和E。画出直线DE并找到其交点F'和AB。然后按“前进”步骤AF'/BF'·BD/CD·CE/AE=1。从中AF’/BF’=AF/BF。从两边减去1即得AB/AF'=AB/AF，从中F’=F。

第二个证据具有启发性。点D、E和F是同调对于成对的相似形状-在这种情况下为分段-BH_b和CH_c（c），啊_一和CH_c（c）和AH_一和BH_bMenelaus定理接着说，如果给定三个形状，其中两个是通过中心相似变换从第三个形状中获得的，那么（自然）存在一个将第一个变换为第二个的同调，并且所有三个变换的中心都是共线的。

作为奖励，我们获得了三个圆的跟随问题:

假设有三个半径不同的圆，它们彼此完全在外面。为了排除琐碎的情况，还假设它们的中心不共线，即三个中心不在同一条直线上。在这些条件下，三个圆中两个的六条外切线成对相交于三点。这三个点是共线的。

此外，根据前面的讨论，可以在内部取两对切线。

(注释：A.爱因斯坦在通信中使用了梅内劳斯定理丑陋而优雅的证据.)

梅内劳斯定理的简单性是有欺骗性的。（2）的几个应用很容易得出德萨尔格,帕普斯和帕斯卡。另一个引人注目的应用可以在[霍斯伯格].

在三角形的每个顶点都有两个角平分线：内角的平分线和外角的平分线。众所周知，如果没有或两个等分线是外部的，那么每个顶点取一个等分是并发的。这是Ceva定理的一个特例。一般来说，每个角平分线都与三角形的另一侧相交。然后根据梅内劳斯定理，只要没有或两个平分线是内部的，每三个这样的点就共线。

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工具书类

H.S.M.Coxeter、S.L.Greitzer、，重新访问的几何图形，MAA，1967年
C.W.道奇，欧几里德几何与变换，多佛，2004年（1972年版重印），第5页。
R.Honsberger，十九、二十世纪欧几里得几何，MAA，1995年
D.佩多，几何学：综合课程1970年，多佛

梅内莱厄斯和塞瓦

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