通过中心线折叠正方形
下面的GeoGebra小程序旨在说明问题由提出@詹姆斯·坦顿:
在穿过正方形中心的线上折叠一张正方形的纸。哪条线产生的重叠区域最少？
（可以通过拖动位于方形外部的点来移动直线。）
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解决方案
让我们用几个额外的元素来补充这个图，如图所示：
假设正方形边长为1。表示\（\角度AOB=\α\）、\（BC=y\）和\（CD=x\）。一个重要的观察结果是（角度CBD=2α）。我们有
\（显示样式\tan\alpha=\frac{1/2-y}{1/2}=1-2y\）
和
\（显示样式\tan 2\alpha=\frac{x}{y}。）
重新收集公式\（\displaystyle\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha{）。结合这三个公式得出
\（显示样式\压裂{x}{y}=\压裂{2（1-2y）}{1-（1-2y^{2}}=\裂缝{1}{2}\压裂{1-2y}{y-y^{2]}。）
因此，我们可以用（y）来表示（x）：
\（显示样式x=\frac{1}{2}\frac{1-2y}{1-y}。）
现在观察到，由于图的旋转对称性和镜像对称性，所有八个截三角形都是相等的。我们必须找到面积的重叠可以通过移除其中两个三角形从一半的正方形（由给定的线截断）中获得。所讨论的三角形是右的，其支腿的长度为（x）和（y）。其中两个的面积是
\（显示样式f（y）=xy=\frac{1}{2}\frac{y（1-2y）}{1-y}。）
当\（f（y）\）达到最大值时，重叠的面积最小。这是函数\（f\）的图形：
我们只关心它在区间（（0,1）上的行为，对于（1）。在该间隔上，函数具有单个局部最大值。要找到它，我们需要区分：
\（\displaystylef'（y）=\frac｛1｝｛2｝\frac｛（1-4y）（1-y）-（-1）y（1-2y）｝｛（1-y）^｛2｝｝。\）
分子简化了两个^{2} -4年+1\). 最大值是二次方程的根之一
\（显示样式2y^{2} -4年+1=0,\)
它们是\（\displaystyley_｛1,2｝=\frac｛2\pm\sqrt｛2｝｝｛2｝\）。其中，\（displaystyle\frac{2-\sqrt{2}}{2}\）位于区间\（0,1）\中。对于这个（y），如果我没有严重错误的话，那么，（displaystyle x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}）使（x=y）和三角形是右等腰的。这意味着两个正方形的边之间的夹角是（45^{circ}），而直线与水平边的夹角为（22.5^{cic}）。这很自然，可能有一个不使用导数的证明。我想看看这样的。
它在这里！
使用与前面相同的符号，固定正方形的顶部水平边等于（x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2{}}=1），从中可以得出（2（x+y）=1+2xy）。因此，在（1-x-y）达到最小值的点处，（xy）和（x+y）同时达到最大值。但后者是带腿的直角三角形的斜边\（x）和\（y）。如果三角形的面积是最大的，而底面是最小的，那么到斜边的高度应该是最大的以补偿斜边的短。当正方形的边在（45^{\circ}）时，高度明显是最大的。
顺便注意一下，我们可以用（2（x+y）=1+2xy）中的（y）来表示（x）。结果令人满意\（显示样式x=\frac{1}{2}\frac{1-2y}{1-y}）。
因此，对于最小重叠（显示样式x=y=frac{2-\sqrt{2}}{2}），而重叠的面积为{2}-2\frac{xy}{2}\），给出最小值
\(\显示样式\开始{数组}{4,2}A&=\压裂｛1｝{2}-（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}\\&=\压裂{1}{2}-\裂缝{6-4\sqrt{2}}{4}\\&=\压裂{1-3+2\sqrt{2}}{2}\\&=\sqrt{2}-1.\结束{数组}\)
这个面积可以用不同的方法计算。位于（45^{circ}）的两个正方形的交点是一个面积为（显示样式8）的规则八角形{2}-1)=2（平方英尺{2}-1)\).
重叠的面积正好是八角形面积的一半，即\（\displaystyle\sqrt{2}-1\).
纸张折叠几何
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