形式系统-示例

借用D.Hofstadter的简单形式系统（MIU系统）哥德尔、埃舍尔、巴赫有一个三个字母（M，I，U）字母表。MIU-stem中的句子是由字母表的三个字母IMU、IIMMUU、UIMUUIIIIIII等组成的有限字符串。有一个公理（MI）和四个演绎规则。应用规则会生成一个定理，该定理被插入小程序主区域列表的顶部。最初只有一项：MI公理。

规则1

如果x个我是一个定理x个感应电动机。

（这里和下面，x个后面的y代表系统中的任何句子，并扮演元变量，占位符。出于这个原因，像这样的公理通常被称为公理模式重要的是，x个不是MIU系统的符号，也不包含在其字母表中。）

规则2

如果Mx个是一个定理，那么M也是x个x个.

（尽管x个代表任意MIU判决x个代表在所有三个事件中都是相同的x个.)

规则3

如果Mx个三年是一个定理，那么M也是x个U型年.

（和以前一样，x个现在也一样年代表任意MIU句子，在所有出现的情况下都是相同的x个和，分别，年.)

规则4

如果Mx个UU（单位）年是一个定理，那么M也是xy公司.

MIU系统是作者提出的一个难题：句子MU是一个定理吗？

下面的小程序为您提供了在MIU系统中推导定理的机会。要将其中一个用于扣除规则应用于右侧最顶部的语句，只需按左侧的按钮之一。在适用规则3或4时可能会出现歧义。例如，根据规则3，字符串MIIII可以减少为MUI或MIU。在这种情况下，字符串会显示在小程序的底部，您应该在其中通过单击模式的第一个字母来选择出现三个“III”（应用规则3）或两个“UU”（应用规律4）。如果没有歧义，则自动应用规则。

（小程序有一个内置的限制：您无法证明长度超过10000个字符的定理。）

如果您正在阅读本文，则您的浏览器未设置为运行Java小程序。尝试IE11或Safari并声明站点https://www.cut-the-knot.org网站在Java设置中是可信的。

如果applet不运行怎么办？

讨论

参考

D.霍夫施塔特，哥德尔、埃舍尔、巴赫：永恒的金辫子，基础图书，1999年

|活动| |联系人| |首页| |目录| |令人大开眼界| |代数|

答案是MU不是MIU系统中的一个定理。

为了了解这一点，让我们观察一下MIU中的任何定理都是以M开头的，字符串的其余部分完全由U和I组成。这对于公理MI来说是正确的。此外，如果规则1-4中的任何一条适用于U的字符串，并且I前面有M，那么结果就是具有相同属性的字符串。

接下来，让我们建立以下关于MIU系统的定理，从中可以立即得出MU不可能是定理。

定理

MIU系统的一个定理中，I的数量永远不能被3整除。

证明

让我们N(x个)表示字符串中的I数x个.N（MI）=1。规则1和4不影响字符串中I的数量。规则2将该数字加倍，以便在规则2转换字符串时x个变成一个字符串年然后2牛(x个)=N(年),显然。但是，如果N(年)=2牛顿(x个)可以被3整除，那么N也是(x个)，因为2和3是素数。因此，如果N(x个)不能被3，N整除(年)也是不能被3整除的。

最后，如果年通过将规则3应用于x个，然后是N(年)=N(x个)-3，所以，还是两个N中的一个(x个)和N(年)可以被3整除，或者两者都不能。这证明了（元）定理。

由于N（MU）=0并且可以被3整除，因此MU在MIU系统中不是一个定理。

返回到什么是无限？

|活动| |联系人| |首页| |目录| |令人大开眼界| |代数|

71697879