Ducci序列

作者：Greg Brockman

一些背景

这个小程序演示了任意向量长度的Ducci序列在实数上的行为。（对于整数的情况，请参见圆上的整数迭代）那么这到底意味着什么呢？首先，我们从任何列表开始n个数字，或长度向量n。接下来，我们通过将每个数字替换为绝对值它和它右边的相邻向量之间的差异（我们认为这些向量是循环的）。我们可以重复这个过程，这样得到的向量序列称为Ducci序列.

更正式地说，让我们（f）：R^n个→R^n个由定义

f（ν₁, ..., ν_n个) = (|ν₁- ν₂|, |ν₂- ν_三|, ..., |ν_n个- ν₁|).

然后是一个n个-向量ν定义为{（f）^我（ν） }，其中我= 1, 2, 3, ... (（f）^我是迭代的吗（f）例如，（f）²（ν） =f（f（ν））。）

现在，因为在Ducci序列中生成连续元素时，我们将向量包装为循环的，这可能会很有帮助把杜奇序列中的一个向量想象成简单的围绕一个圆圈排列的一些数字。我拿了这个方法。

说明

下面介绍如何运行小程序：首先，单击“添加圆”开始。现在有两种模式：编辑和运行。默认情况下，您以编辑模式启动。

编辑模式选项

添加插槽（绿色按钮）：您添加的每个新圆对应于将相应向量的长度增加1。
你可以点击一个给定的圆来选择它。如果它已经被选中，那么什么也不会发生。
要向选定的圆添加值，请在顶部的文本框中输入值。选定圆中的值将自动更新，如果您愿意，也可以按“Enter”。
按“Del”键可以删除选定的圆。
准备好后，单击“Play Ducci！”进入Run模式。

运行模式选项

下一步计算Ducci序列中的下一个向量。如果启用动画，则可以获得很酷的电影效果。
“自动”按钮会自动多次运行“下一步”。
如果你想跳到某一代（例如，也许你想找到507^第个考虑中的Ducci序列中的向量），可以使用“See generation number”框。只需输入您想要的号码，然后按回车键。
顶部的按钮相当自我解释：重置值将返回到0^第个向量（起始向量）；编辑值会将您切换回编辑模式；和Create New Game会完全删除所有信息，并以一个新向量开始。

常用选项

切换“显示精确值/显示近似值”将更改是否显示圆中数字的精确值或是否显示十进制近似值。

提示
如果您不确定按钮的功能，可以始终将鼠标悬停在按钮上，等待工具提示。

注释
Ducci序列使用π上的300位精度进行计算，e（电子）、和√2因此，在大约1000代之后，你的典型Ducci序列开始表现出类似同质序列的错误行为（有关该术语的含义，请参阅我的论文)而不是异构的。程序在1000代后自动显示警告。
圆的颜色表示其相对于当前矢量中最大元素的大小。对于最大元素，此颜色为蓝色，并且随着元素的幅值收缩，此颜色将（线性）变暗。

关于该做什么的一些建议

本文讨论了奇长向量的Ducci序列在什么条件下开始重复。您可以使用小程序检查各种Ducci序列的行为。如果你从一个非理性开始，然后用一个很好的理性近似来代替它，会发生什么？你能得到任何不属于零向量的非重复序列吗？（这个问题的答案实际上是未知的；这样的序列通常存在，但已知的序列无法使用给定的输入法构建）？

当你处理长度为4的向量时，会出现一些与我之前的论文相关的很酷的现象。你能找到一个从未真正击中零向量的向量吗？如果没有，你能建造一个需要很长时间才能到达那里的吗？（如果使用给定的输入工具，您将无法构建一个从未真正命中零矢量的矢量。但如果足够聪明，则可以构建任意长的矢量。）

您还应该查看精确的值，并查看它们在迭代时的行为。各种数字的系数增长的速度有多快？他们必须在什么条件下自由成长？

总的来说，人们可以问的问题基本上是无限的。我建议使用这个小程序直观地了解Ducci序列在实数上的行为。

关于作者

格雷格·布罗克曼目前是哈佛大学的本科生。这篇论文是一项研究的结果在北达科他大学数学教授Ryan Zerr博士的指导下，他在高中三年级完成了这个项目。布罗克曼收到6份^第个放置在英特尔科学人才搜索大赛因为他在这个项目上的工作。你可以通过电子邮件直接联系他gregx007@yahoo.com.

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