头部和尾部
用三个小别针组成一个三角形。每个销都有两端。一个是钝的，另一个是尖的。钝的一端被称为头，尖的一端被称为尾。在三角形的顶点处，两个销相遇，它们可能会头对头、头对尾或尾对尾相遇。只有三种可能的顶点配置。现在的任务是证明（并在以后概括）以下内容
定理1
当三个销形成三角形时，要么所有顶点配置都相同，要么所有的顶点配置都不同。
下面的小程序帮助您实验各种配置，甚至通过枚举所有可能的情况来证明定理。（单击接点，可以更改该接点的方向。）
当三个销形成三角形时，要么所有顶点配置都相同，要么所有的顶点配置都不同。
在实际阅读证明之前，你不想尝试一下证明定理吗。
现在，四个别针怎么样？使用四个管脚，可以使所有顶点配置相等。但由于有4个顶点，只有3种可能的配置，这是不可能的所有4种配置都不同。这是否意味着我们不能对4个或更多的管脚做出有意义的陈述来推广我们的定理。不，它没有。有一个很好的概括，上面的小程序可能会有所帮助制定它也是。只需注意，当您单击（或将光标拖到）小程序左下角的数字（即管脚数）时，数字会发生变化。若要增加数字，请将光标保持在其垂直中心线的右侧，若要减小数字，请使光标保持在左侧。
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事实上，有几个证据。枚举证明是真实的，虽然不是很优雅，数学的证明，因为可能的情况数是有限的。
以下是我最喜欢的证据：
证据#1
让我们介绍一下方向在三角形的周长上。只有两种可能的方向：一种是顺时针方向，另一种是逆时针方向。（我不知道如何证明这一说法，希望你能接受它的真实性，否则我的证明将一文不值。至少对你来说。）
单个销也可以具有方向。从尾部到头部的运动可能与三角形的选定方向一致，也可能不一致。我们说，针的方向是积极的还是消极的，取决于是否达成协议。
由于只有两个可能的方向，因此三个销中的两个必然具有相同的方向。如果第三个管脚的方向与前两个管脚方向类似，则所有顶点配置都是相同的-从头到尾。我们写作HT＝3， HH=0时，和TT=0。如果第三个销的方向与其他两个不同，则HT=1， HH=1，和TT=1。Q.E.D.公司。
这是一个很好的证明，非常适合三针配置，但似乎没有帮助超过三针。
证据#2
选择一个接点。此管脚连接两个顶点，或者我们可以说它连接其他两个管脚的端点。这些端点可以是头部/头部、头部/尾部、尾部/头部或尾部/尾部。当所选引脚改变其方向时，数字HH、HT和TT会发生什么变化？结果如下表所示：
| “左”销 | | “右”销 | | 选定的接点 | | 更改后计数 |
|---|
| 头 | | 头 | | 头部/尾部 | | HH、HT、TT |
| 头 | | 尾 | | 头部/尾部 | | HH-1、HT+2、TT-1 |
| 尾 | | 头 | | 头部/尾部 | | HH+1、HT-2、TT+1 |
| 尾 | | 尾 | | 头部/尾部 | | HH、HT、TT |
正如我们看到的，并且可以通过小程序的实验进行验证，顶点配置的数量HH和TT总是同时改变：要么都增加，要么都减少1。由于每个可能的顶点配置序列都可以通过从所有管脚方向相同的序列开始获得，在这种情况下，HH和TT都是0，因此相等，并像上面一样旋转几个管脚，我们得出结论：HH=TT。
如果HH=TT=0，则HT=3，所有顶点配置都相同。如果HH=TT=1，然后也HT=1所有配置都不同。Q.E.D.公司。
在证明#2的过程中，我们始终表明HH=TT。这是定理1的明确推广：
定理2
HH=时间。
正如我们刚刚看到的，当引脚的数量为3时，两个定理都得到了相同的结果。
证明#3
让N个销排列在一个闭合链中。由于它们都有一个头和一条尾巴，所以头的总数（N）等于尾巴的总数（N）。有TH头部/尾部配置，每个配置包含一个头部和一个尾部。忽略所有此类配置。保留的配置包含相同数量的尾部（第N个）和头部（北-TH）。但这些仅包括在TT和HH配置中。由此可见TT=HH，而且，自然地，两端的数目是偶数。
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