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现代数学的基本结构之一是组从形式上讲，组是一组配有识别元件，乘法运算和反转操作遵循以下公理：

• （结束）如果，然后和定义明确并处于（这一公理在上述描述中是多余的，但我们将其包括在内是为了强调。）
• （关联性）如果，然后.
• （身份）如果，然后.
• （反向）如果，然后.

还可以考虑加法群而不是乘法群，符号有明显变化。按照惯例，加法群总是被理解为阿贝尔群，所以当人们想要强调群结构的阿贝尔性质时，使用加法符号是很方便的。像往常一样，我们经常缩写通过（和通过)当没有混淆的机会时。

如果进一步配备了拓扑和组操作在这个拓扑中是连续的，那么是一个拓扑群。通过施加离散拓扑，但还有许多更有趣的拓扑组示例，例如李群，其中不仅是一个拓扑空间，而且实际上是一个光滑流形（群操作不仅是连续的，而且是光滑的）。

有许多自然发生的类群体对象，它们遵循一些但不是全部的公理。例如，幺半群要求遵守闭包、结合性和恒等公理，但不遵守逆公理。如果我们也放弃了恒等式公理，我们最终会得到一个半群.广群不一定要遵守闭包公理，但要遵守结合性、恒等式和逆公理。等等。

另一个类似群体的概念是局部拓扑群（或本地组简而言之），它本质上是一个拓扑群，省略了闭包公理（但不遵循与群胚相同的公理集）；它们主要出现在（全局）拓扑群的局部性质的研究中，也出现在可加组合学中近似群的研究中。正式来说，是一个本地团体是拓扑空间配有识别元件，部分定义但连续的乘法运算对于某些域，以及部分定义但连续的反演操作，其中，遵循以下公理：

• （局部关闭）是一个开放的社区、和是一个开放的社区.
• （局部关联性）如果是这样的和都是定义明确的，那么它们是相等的。（但请注意，与群胚相比，这些产品中的一种可能会被定义，而另一种可能不会被定义。）
• （身份）面向所有人,.
• （局部逆）如果和定义明确，那么（尤其是这一点，连同其他公理.)

我们通常将普通群体称为全球集团（和拓扑组为全局拓扑群)以区别于当地群体。每个全局拓扑群都是局部群，但不是相反。

可以考虑离散局部群，其中拓扑为离散拓扑；在这种情况下，定义中的开放性和连续性公理是自动的，可以省略。在另一个极端，可以考虑局部李群，其中本地组具有光滑流形的结构，且群运算是光滑的。我们还可以考虑对称局部群，其中（即，始终定义倒数）。对称局部组具有以下优点局部同质性：给定任何左倍增手术由局部反转接近恒等式，从而在和身份的邻居；特别地，我们看到给定任意两个群元素在对称局部群中，的邻域之间存在同胚和附近（如果对称局部群也是Lie，那么这些同胚实际上是微分同胚。）这种局部同质性已经简化了对称局部群的许多可能拓扑，因为它基本上意味着这些群的局部拓扑结构是由原点的局部结构决定的。（例如，一个局部李群的所有连通分量都必须具有相同的维数。）很容易看出，任何局部群都至少有一个对称的单位邻域，因此在许多情况下，我们可以限制到对称情况，而不会损失太多的通用性。

局部群的一个主要例子可以由限制任意全局拓扑群到一个开放的社区身份，域

和

可以很容易地验证这一点本地组的结构（我们有时称之为强调原始组). 如果对称（即。)，那么我们实际上有一个对称的局部群。也可以限制地方的组开放社区以获得较小的本地组通过相同的程序（采用公约或如果左侧未定义，则视为错误）。（但请注意，如果一个人仅限于身份的非开放社区，那么他通常不会获得本地组；例如不是本地组（为什么？）

包含恒等式的（Hausdorff）群的有限子集可视为局部群。事实证明，这种观点对研究特别有用近似群在加性组合学中，这一点我希望以后能进一步阐述。因此，例如，离散区间是一个加性对称局部群，它可以非正式地为只能处理（有符号）一位数字的加法机建模。更一般地说，人们可以将局部组视为一个对象，其行为类似于标识附近的组，但对于该对象，一旦远离标识足够远，群定律（尤其是闭包公理）就会开始瓦解。

人们可以将这种直觉形式化如下。让我们说一句话在本地组中是在中定义明确（或定义明确的（简而言之）如果使用括号关联这个单词的所有可能方式都是通过应用产品操作定义好的。例如，为了为了明确定义，,,,、和必须全部定义明确。在前面的示例中,定义不明确，因为关联此和的方法之一，即，没有明确定义（即使定义明确）。

练习1（迭代结合定律）

• 显示如果一个单词在一个局部组中定义明确，那么所有关联这个单词的方法都给出相同的答案，因此我们可以唯一地进行评估作为中的元素.
• 举一个单词的例子在一个有两种关联方式的本地组中，这两种关联都是定义明确的，但给出了不同的答案。(提示：局部关联性公理防止了这种情况的发生，所以试试看.一个小的离散局部群就足以给出一个反例；如果在仍有反例的情况下，使群操作的定义域尽可能小，那么验证局部群公理就更容易了。）

练习2显示关联单词的方式数量由加泰罗尼亚数字 .

练习3让成为一个本地团体，让是一个整数。表明存在对称开放邻域身份，使得每一个长度的单词在里面在中定义明确（或者更简洁地说，定义明确）。（请注意，这些单词通常只接受，而不是在，以及集合随着增加。）

在许多情况下（例如当一个人正在调查全球集团的本地结构时），他只对地方的（本地或全局）组的属性。我们可以通过以下定义将其形式化。让我们呼叫两个本地组和 局部相同如果它们有一个共同的限制，那么就存在一个集合这样的话（因此，，以及的拓扑和组操作和同意). 这很容易被视为等价关系。我们称之为等价类本地组a的群胚.

让是局部群的一个属性（例如，交换性、连通性、紧性等）。我们称之为群胚本地如果细菌中的每个局部群体都有一个遵守的限制; 我们称之为本地或全球集团 本地如果它的病菌是局部的（或等效地，在包含一个遵循). 因此，对（局部或全局）群的局部性质的研究被群芽的研究所包含。

练习4

• 表明上述一般定义与通常的属性定义一致。”有联系的“和”本地连接的“来自点集拓扑。
• 严格来说，上述定义是不与通常的属性定义一致”契约“和”局部紧集“来自点集拓扑，因为在局部紧性的定义中，紧邻域当然不需要是开放的。然而，使用上述约定，表明“局部紧”的点集拓扑概念与“局部准紧的环境本地组内部”。当然，这是一个更为笨拙的术语，因此我们将稍微滥用符号，继续使用标准术语“局部紧凑”，尽管严格来说，它与上述一般惯例不兼容。
• 证明了局部群是离散的当且仅当它是局部平凡的。
• 证明了连通全局群是可交换的当且仅当它是局部可交换的。(提示：在连接的全局组中，唯一打开的子组是整个组。）
• 显示全局拓扑组是第一可数的当且仅当它是局部第一可数的。（由Birkhoff-Kakutani定理这意味着，当且仅当这些组是局部可度量的时，它们才是可度量的。）
• 让做一个大人物。显示电磁阀总成 ，其中是-adic整数和是对角线嵌入里面，已连接，但未本地连接。

备注1还可以使用非标准分析一种方法可以代替细菌群（至少在以下情况下是这样的是第一个可数的）莫纳德 标识元素的属于，定义为非标准组元素在里面从它们位于同一性的每一个标准邻域的意义上来说，它们与原点的距离是无限小的。单子与群体生殖密切相关，但与局部组的等价类相比，它具有真正的（全局）组的优势。在这个非标准的公式中，可以重铸这里的大多数结果；参见示例。罗宾逊的经典文本然而，我们在这里不会采用这种观点。

一个有用的事实是，李结构是局部的。调用（全局或局部）拓扑组谎言如果可以给出（全局或局部）李群的结构。

引理1（Lie是局部性质） 全局拓扑组是Lie当且仅当它是局部Lie。同样的说法也适用于当地团体只要它们是对称的。

我们在褶皱下面画出这个引理的一个证明。一个方向是显而易见的，因为全局李群对原点开放邻域的限制显然是局部李群；例如，连续间隔是一个对称的局部李群。相反的方向几乎同样容易，但是（因为我们没有假设需要一个非平凡的事实，即局部李群之间的局部同态是自动光滑的；细节在褶皱下方提供。

与数学中许多其他对象的基本类一样，指定和研究态射在本地组（和组细菌）之间。给定两个本地组，我们可以定义（连续）同态 在它们之间，定义为具有

这样无论何时是这样的定义明确，那么定义明确，等于; 同样，无论何时是这样的定义明确，那么定义明确，等于（在抽象代数中，同态的定义省略了连续性要求；我们将这种映射称为离散的同态，以将它们与这里要研究的连续同态区分开来。）

在本地工作通常更方便：定义局部（连续）同态 从到是来自开放邻域的同态身份到给定两个局部同态,从一对局部相同群到另一对，我们这么说是局部相同如果他们同意在（请注意，在这里，我们是否要求开放并不重要，英寸或两者兼而有之）。等价类局部同态的胚同态（或同构简言之）来自群体胚芽到群体细菌.

练习5证明具有胚同态的群胚类成为类别（严格地说，因为群细菌本身就是群细菌类所有群芽的集合不是集合，而是一个二阶类，而不是一个类，但这种集合理论的技术性可以通过多种方式解决（例如，通过将所有考虑中的全局和局部群限制为某个固定的“宇宙”），在本练习中应该忽略。）

像范畴理论中常见的一样，一旦我们有了态射的概念，我们就有了同构：两组细菌如果存在胚芽同态，则为同构,相互颠倒。回到当地团体，相关概念是局部同构：两个本地组如果存在局部同构，则为局部同构和从到和来自到局部相互反转，因此对于足够接近、和对于足够接近注意，可以纯粹根据群和拓扑结构定义的（全局或局部）群的所有局部属性将在局部同构下保持不变。因此，例如，如果是局部同构的局部群，那么是本地连接的iff是，局部紧iff是，和（通过引理1)是Lie iff是。

练习6

显示添加的全局组和是局部同构的。

显示每个本地路径连接的组局部同构于一个路径连通的、简单连通的群。

— 1. 李氏第三定理-

李理论的基本定理将李群芽与李代数联系起来。请注意，如果是局部李群胚，然后是切空间在这个胚芽的同一性下是定义明确的，是一个有限维向量空间。如果我们选择对称，那么也可以通过上的左变（比如）向量场来识别，它们是上的一阶微分算子. The向量场的李括号然后捐赠具有的结构李代数。很容易检查每个态射局部李胚的（通过恒等式上的导数映射）产生一个态射关联李代数的。从Baker-Campbell-Hausdorff公式（如前一篇文章中所讨论的，该公式对局部李群有效），我们反过来看到唯一决定胚同态。因此，导数映射提供了协变函子从局部李群芽范畴到（有限维）李代数范畴。事实上，这个函子是同构的，这是一个事实的一部分，称为李氏第三定理:

定理2（李氏第三定理）对于这个定理，所有的李代数都被理解为是有限维的（并且在实数上）。

1. 每个李代数是局部李群胚的李代数，在胚芽同构（固定).
2. 每个李代数是某个整体连通、单连通李群的李代数，它是唯一的，直到李群同构（固定).
3. 每个同态李代数之间是唯一胚同态的导数在相关的局部Lie群细菌之间。
4. 每个同态李代数之间是唯一李群同态的导数关联的全局连通、单连通、李群之间。
5. 每个局部李群胚都是全局连通、单连通李群的胚，这在李群同构中是唯一的。特别地，每个局部李群都是局部同构于全局李群的。

我们在折叠下面记录了这个定理的（标准）证明，它最终基于阿多定理Baker-Campbell-Hausdorff公式。李的第三定理（实际上，该定理已被Cartan完全普遍地证明）证明了三个范畴的等价性：有限维李代数的范畴、局部李群芽的范畴以及连通、单连通李群的范畴。

— 2. 全球化本地集团-

本地群体的许多属性在传递到身份的较小邻域后会得到改善。以下是一些简单的示例：

练习7让成为本地团体。

• 举个例子说明不一定遵守取消法律

  

  对于（按照惯例如果任一侧未定义，则为false）。然而，要表明有一个开放的社区属于撤销法适用的范围。

• 重复上一部分，但使用取消法(1)被反演定律取代

  

  对于任何双方都有明确的定义。

• 重复上一部分，但用对合定律代替反演定律

  

  对于任何其左侧定义明确。

请注意，上述练习中的反例表明，并非每个局部组都是全局组的限制，因为全局组（及其限制）始终遵守取消法(1)、反演定律(2)和对合定律(3)。本地组可能无法来自全局组的另一种方式是，它包含的关系可以以“全局”方式进行交互，以在本地级别看不到的方式造成麻烦。例如，考虑开放单元多维数据集，并考虑四点在这个接近上四角的立方体中分别是这个立方体的。定义等价关系通过设置如果和等于或对一些人来说注意，如果距离角落足够近（因为这迫使所有非平凡的组合躺在双重立方体的外面). 商空间（这是一个立方体，其相对角周围的比特被识别在一起）可以被视为对称的可加局部李群，但通常不会来自全局群。事实上，不难看出，如果是全球集团的限制，然后必须是具有李代数的李群（通过引理1)，因此连接的组件属于包含标识与同构对于某些子格属于包含; 但对于通用，没有这样的格子，因为将生成（这里的情况有点类似于许多著名的埃舍尔印刷品，例如升序和降序，其中几何图形是局部一致的，但全局不一致。）我们将在折叠下面更详细地给出这种论证（参见命题证明7).

然而，空间仍然是本地同构于全局李群，即; 例如，开放社区与同构，是一个开放的街区更一般地说，李的第三定理告诉我们，任何局部李群都是局部同构于全局李群的。

让我们呼叫一个本地组全球化的如果它与全局群局部同构；因此，李的第三个定理告诉我们，每个局部李群都是全局的。多亏了Goldbring的对于希尔伯特第五个问题的局部版本，我们也知道局部欧几里德局部群体是全球化的。对这个论点的修改作者：van den Dries和Goldbring事实上，每一个地方紧密的地方团体都是全球化的。

鉴于这些结果，我们很容易猜测全部的当地团体是全球化的；；除其他外，这将简化李第三定理（以及希尔伯特第五问题的局部版本）的证明。不幸的是，上述说法是错误的：

定理3 存在本地组这是不全球化的。

用于建立定理的反例三非常精致；我知道的第一个例子应该是给van Est和Korthagen当然，其中一个原因是，前面的结果阻止了人们使用任何局部李群，甚至局部紧群作为反例。下面我们将基于无限维巴拿赫空间中的单位球给出一个（有点复杂的）示例.

然而，在许多情况下，我们可以使当地群体全球化。例如，如果一个人在全局组中拥有该本地组的本地忠实表示，则会出现这种情况：

引理4（忠实表示意味着全球化） 让是局部群，假设存在内射局部同态从成为全局拓扑群具有对称的。然后同构于全局拓扑群对恒等式的开邻域的限制；特别地，是全球化的。

这里的材料部分基于奥尔弗的这篇论文和Goldbring的这篇论文.

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