每月存档

您当前正在浏览2007年9月的月度档案。

拉特纳定理

2007年9月29日说明文的,数学。DS公司,数学。新技术|标签：,,,,,|由|36条评论

工作时我最近和本·格林的论文，我被介绍给美丽的定理属于玛丽娜·拉特纳在万能的流打开齐次空间，以及它们在数论问题中的应用，例如奥本海姆猜想（首先解决作者：Margulis通过建立可以回顾性地被视为拉特纳定理的特例）。这是一个我才刚刚开始学习的主题，但希望将来能更好地理解，特别是考虑到Ratner定理的定量类比应该存在，并且应该在数论中有更多的应用（参见示例艾因西德勒、马古利斯和文卡提什最近的这篇论文)。在这篇文章中，我将尝试描述这个定理的一些背景及其与奥本海姆猜想的联系；我根本不会讨论这个证明，主要是因为我自己还没有完全理解它。为了更好地介绍这些问题，我建议戴夫·莫里斯最近关于这个主题的书（这里的帖子很大程度上是从那本书中摘录的）。

拉特纳定理发生在齐次空间非正式地说，同质空间是指从该空间上的任何一点观察时看起来“相同”的空间X。例如，球体序号^2是一个同质空间，但立方体的表面不是（从角落看立方体时，与从边或面上的点看时，立方体看起来不同）。更正式地说，同质空间是指配备有行动 （g，x）映射到gx对称性群G的可传递的：给定空间上任意两点x，y，至少有一个对称g将x移动到y，因此y=gx。（例如，立方体有几个对称性，但不足以传递；相反，球体序号^2具有特殊正交群SO（3）作为其对称群的传递作用。）不难看出，齐次空间X总是可以用商来标识（作为具有G作用的集）G/\Gamma:=\{G\ Gamma:G\在G\}中，其中\伽马射线是G的子群；的确，人们可以接受\伽马射线成为稳定器\Gamma:={g\在g:gx=x\}中任意选择x中的点x，然后确定g \伽马射线具有g \伽马x=gx例如，球体序号^2具有特殊正交群SO（3）的明显作用，可以用SO（2）来识别北极的稳定器，从而可以用SO3/SO2来识别球体。类似地双曲线平面 {\Bbb H}与同构SL（2，{\Bbb R}）/SO（2）此外宇宙丛 S^*X公司X的单位（共）切向量空间也是具有结构群的齐次空间SL（2，{\Bbb R}）（例如，cosphere束S^*{\Bbb H}双曲线平面的{\Bbb H}与同构SL（2，{\Bbb R}）/\{+1，-1\}.)

为了Ratner定理的目的，我们只考虑齐次空间X，其中对称群G是一个连通的有限维李群，X是有限体积（或者更准确地说，它具有有限的非平凡G-不变测度）。每个紧齐次空间都是有限体积，但不是相反；例如模数曲线 SO（2，{\Bbb R}）\反斜杠SL（2是有限体积但不紧凑的（它有一个尖点）。（模块化曲线有两个真实维度，但只有一个复杂维度，因此称为“曲线”；令人困惑的是，它也被称为“模块化曲面”。至于“模块化”一词，请注意模空间属于幺模格在里面{\Bbb R}^2具有明显的作用SL（2，｛\bb R｝），稳定器为{\Bbb Z}^2存在SL（2，{\Bbb Z}）还有一个明显的左动作SO（2，{\Bbb R}）所以这个模空间可以用模曲线来识别。）

阅读本条剩余内容»

幂零流形上多项式轨道的定量行为

2007年9月25日数学。DS公司,数学。希腊,纸张|标签：,,,,,,|由|53条评论

本·格林我刚刚上传了我们的论文“幂零流形上多项式轨道的定量行为“发送到arXiv公司（完成配套论文后，很快将提交给期刊）。本文源于我们努力证明莫比乌斯和尼尔森猜想MN来自我们早期的论文，用于计算素数中的各种线性模式(迪克森猜想). 正如伴随论文所揭示的那样，这些努力是成功的，但事实证明，为了建立这个数论猜想，我们必须首先建立一个关于幂零流形中多项式序列的纯动力学定量结果，这在很大程度上符合著名定理的精神玛丽娜·拉特纳关于单幂流；我计划在这篇文章的后续文章中更详细地讨论她的定理。在这篇文章中，我将不讨论数论应用或与拉特纳定理的联系，而是从稍微不同的角度描述我们的结果，从一些非常简单的例子开始，逐步过渡到我们论文中考虑的一般情况。

首先，考虑一个无限线性序列（α+β）在单位圆内｛\Bbb R｝/｛\Bbb Z｝，其中\{\Bbb R}/{\Bbb Z}中的α、β（人们可以把这个序列看作\β在值班员的作用下T： x\mapsto x+\alpha在单位圆上。）此序列可以执行以下两项操作之一：

  1. 如果\阿尔法是合理的，那么顺序（α+β）是周期性的，因此只具有有限多个值。
  2. 如果\阿尔法是不合理的，那么序列（α+β）在{\Bbb R}/{\Bbb Z}事实上，它不仅密度大，而且等分布的或等效的

    \显示样式\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{N=1}^N F（N\alpha+\beta）=\int_{{Bbb R}/{\Bbb Z}}F

    对于所有连续函数F： {\Bbb R}/{\Bbs-Z}\到{\Bb-C}。此语句称为等分布定理.

因此，我们看到无限线性序列在周期性和均匀分布之间表现出明显的二分法；中间场景，例如分形集中（例如康托集合)，不要出现在线性序列中。结构和随机性之间的这种二分法与指数序列（例如（2^n\alpha）_{n\in{Bbb n}}它可以表现出极其广泛的行为。例如，是否（10^n\pi）_｛n\in｛\bb n｝｝是否等分布mod 1是一个古老的未解决问题，相当于问\圆周率是正常的基数10。

线性序列和指数序列之间的中间值为多项式序列 （P（n））_{n\in{Bbb n}}，其中P是系数为{\Bbb R}/{\Bbb Z}Weyl的一个著名定理断言，无穷多个多项式序列与它们的线性对应序列具有相同的二分法，即它们要么是周期性的（当所有非常数系数都是有理的时发生），要么是等分布的（当至少一个非常系数是无理的时发生）。例如，分数部分\{\sqrt（平方码）{2} n个^2\}属于\方形{2}n^2均布模1。这个定理是通过傅里叶分析结合上的非平凡界来证明的Weyl sums公司.

对于我们的应用，我们有兴趣从两个方面加强这些结果。首先，我们希望从圆中的多项式序列进行推广{\Bbb R}/{\Bbb Z}到多项式序列（g（n）\Gamma）_{n\in{Bbb n}}在其他齐次空间尤其是尼罗流形其次，我们需要有限轨道的定量均匀分布结果（g（n）\Gamma）_{1\leq n \leq n}而不是无限轨道的定性均匀分布（g（n）\Gamma）_{n\in{Bbb n}}.

阅读本条剩余内容»

另一个建议页面和一个打开的线程

2007年9月21日管理员|标签：,,|由|96条评论

我又加了一篇文章我的职业建议页面，部分灵感来自之前的一些博客讨论，题为“持续瞄准当前范围之外的目标“.

此外，似乎有一些需求在这里讨论与任何帖子都没有直接关系的主题。因此，我将在这里做一点尝试，把这篇帖子变成一个“开放线程”，允许讨论任何主题（当然，我会继续要求所有评论保持礼貌和建设性）。如果这个实验结果很好，我会尝试定期在这个博客上启动更多打开的线程。

[更新，9月22日：正如你可能注意到的那样，我正在试验wordpress标签，最近与wordpress类别解耦。我仍然不确定使用标签和类别的最佳方式是什么，以及是否应该在数学博客中尝试标准化；当然欢迎提出建议。]

交叉数不等式

2007年9月18日说明性的,数学。一氧化碳|标签：,,,,,|由|58条评论

今天我想讨论图论中的一个美丽的不等式，即交叉数不等式这个不等式给出了一个关于给定图形离平面有多远的有用界限，并且有许多应用，例如对总和估计。它的证明也是放大技巧行动中；这里放大的主要来源是传递给子对象的自由，这是我在前一篇关于放大的文章中没有提到的自由。交叉数不等式（及其证明）在图理论家中广为人知，但在更广泛的数学界中可能并不如此，所以我想我会在这里公开它。

在本文中，当我谈到图表，我指的是顶点V的抽象集合，以及连接成对顶点的一些抽象边E。我们假设图是无方向的（边缘没有首选方向），无回路的（边不能从同一顶点开始），以及无多重性（任何一对顶点最多由一条边连接）。更正式地说，我们可以通过将E视为\二进制{V}{2}:=\{e\subset V:|e|=2\}图G是一个有序对G=（V，E）。（符号的设置是为了|\binom{V}{2}|=\binom{|V|}{2{.)

现在，与其他一些抽象数学概念相比，图的一个重要特征是，它们很容易绘制：抽象顶点成为平面上的点，而边则成为连接这些点的线段或曲线。[为了避免一些技术性的问题，我们不允许这些曲线通过点，除非曲线在该点处终止。]让我们非正式地将图G的这种具体表示D称为绘画这张图。显然，任何非平凡的图都会有无数可能的图形。在其中一些图纸中，一对边可能会相互交叉；在其他图形中，所有边都可能是不相交的（当然，顶点处除外，此处具有公共端点的边必须相交）。如果G有后一种类型的图D，我们说图G是平面.

给定一个抽象图G或其绘图，该图是否为平面图并不总是显而易见的；仅仅因为你当前拥有的G的图形包含交叉点，并不一定意味着全部的G do的图片。精彩的小网络游戏”平面度“很好地说明了这一点。然而，确实有一些图不是平面的；尤其是完全图K_5号机组在五个顶点上完全二部图 K_{3,3}在两组三个顶点上，是非平面的。

事实上有一个著名的库拉托夫斯基定理也就是说，这两个图是非平面性的唯一“来源”，在这个意义上，任何非平面图都包含（a细分of）这些图之一作为子图。（当然还有更著名的四色定理这说明每个平面图都是四色的，但这不是我今天的帖子的主题。）

直观地说，如果我们固定顶点的数量|V|，并增加边的数量|E|，那么图应该变得“越来越非平面”；相反，如果我们保持相同数量的边|E|，但将它们分布在更多的顶点|V|中，则图形应该“越来越平面化”。有没有一种定量的方法来测量图形的“非平面性”，并将上述直觉形式化为某种不等式？
阅读本条剩余内容»

毕达哥拉斯定理

2007年9月14日说明文的,数学。你好,非技术性的|标签：,,,,|由|76条评论

我的同事里卡多·佩雷斯-马尔科给我看了一个非常可爱的证据毕达哥拉斯定理我想我会在这里分享；这并不是特别令人震惊，但它可能是我见过的定理最直观的证明。

在上图中，a、b、c是直角三角形ACB的长度BC、CA和AB，而x和y分别是直角三角形CDB和ADC的面积。因此，整个三角形ACB的面积为x+y。

现在观察一下，直角三角形CDB、ADC和ACB都是相似的（因为所有的公共角），因此它们的面积与各自斜边的平方成正比。换句话说，（x，y，x+y）与（a^2，b^2，c^2）毕达哥拉斯定理如下。

阅读本条剩余内容»

PCM文章：谐波分析

2007年9月11日同伴,数学。加利福尼亚州|标签：|由|16条评论

我今天首先欢迎大家蒂莫西·高尔斯数学博客社区；蒂姆的博客还将兼作普林斯顿数学指南正如他的指示第一个岗位
其中还包含指向Companion上更多材料（例如示例文章）的链接。不过，正如你在他的博客中看到的那样，蒂姆已经在思考超越博客媒介的问题了第二个岗位…

无论如何，这给了我一个继续的借口我自己的系列PCM文章。几年前，蒂姆让我写一篇更长的文章谐波分析–对域上函数和集合的振荡、变换和其他特征的定量研究。当时我还没有完全理解《伴侣》的主题，写了一篇相当详细的课题技术综述这对《伴侣》来说是完全不合适的。然后我回去从头开始重写这篇文章，导致这篇文章，它（模组一些进一步的编辑）接近实际显示的内容。（这两篇文章已经出现在我的网站上，但不是特别突出。）因此，正如你所见，《伴侣》中的文章与期刊上发表的解释性调查文章并不完全相同。

我还应该提到，《伴侣》的其他一些作者已经将他们的文章放到网上。例如，阿兰·孔涅“PCM文章”对初学者的建议“，针对刚开始从事数学研究的研究生，实际上已经与这个博客的一个页面。我将尝试在本系列的后续文章中指出指向其他PCM文章的链接。

放大、套利和张量幂技巧

2007年9月5日说明性的,数学。加利福尼亚州,数学。一氧化碳,技巧|标签：,,,,,,,,|由|92条评论

最近我突然想到，数学博客媒体不仅是一个很好的场所，可以用来解释数学概念或结果的“短篇故事”，还可以用来对个人数学“技巧”进行更技术性的讨论，否则这些技巧就不足以保证公开长度（和公开质量）文章。所以我今天想讨论一下放大技巧调和分析和组合学（尤其是估计研究）；这个技巧采用一个涉及任意对象（例如函数f）的既定估计，并获得一个更强的（或放大的)通过以一种精心选择的方式（通常涉及一些新参数）将对象转换为一个新对象，将估计应用于该新对象，并查看该估计对原始对象的影响（在优化参数或限制后）。放大技巧特别适用于在估计值的一侧具有某种对称性而另一侧没有表示的估计值；事实上，它可以被视为“套利“估计值左右两侧对称程度不同。它也可以用于反例，将弱反例放大为强反例。这个技巧也揭示了为什么量纲分析作品；维数不一致的估计通常可以被放大为维数一致的更强的估计；在许多情况下，这个新的估计是如此强大，以至于它实际上不可能是真的，因此维度不一致的不等式往往要么是错误的，要么是无效的，这就是为什么我们很少看到它们的原因。（更一般地说，群体作用于左侧或右侧的任何不等式通常可以通过放大技巧或其他相关工具（如傅里叶分析）“分解”为群体作用的“同型分量”。）

放大技巧看似简单，但在套利非直观对称（如张量幂下的对称）时，它会变得特别强大。事实上，“张量幂技巧”可以以一种近乎神奇的方式消除常数甚至对数，它可以为尖锐不等式提供一些有趣的证明，而这些不等式很难用更直接的方法建立。

放大技巧最常见的例子可能是教科书证明Cauchy-Schwarz不等式

|\兰格v，w\rangle|\leq\v\|w\|(1)

对于复希尔伯特空间中的向量v，w。要证明这个不等式，可以从利用明显的不等式开始

\|v-w\|^2\geq 0(2)

但在展开所有内容后，只会得到较弱的不等式

\hbox{Re}\langle v，w\rangle\leq\frac{1}{2}\|v\|^2+frac{1'{2}\|w\|^2. (3)

由于两个原因，现在（3）弱于（1）；左侧较小，右侧较大（得益于算术平均-几何平均不等式）。然而，我们可以通过套利一些对称失衡来放大（3）。首先，观察相位旋转对称性映射到e^{i\theta}v保留（3）的RHS，但不保留LHS。我们通过将v替换为e ^{iθ}vin（3）用于某些阶段\θ稍后选择，以获得

\hbox{Re}e^{i\theta}\langlev，w\rangle\leq\frac{1}{2}\|v\|^2+\frac}{2{2}.

现在我们可以自由选择\θ随心所欲（当然，只要它是真实的），所以选择是很自然的\θ以优化不等式，在这种情况下，这意味着使左侧尽可能大。这是通过选择e^{i\theta}取消的阶段\兰格v，w\rangle，我们获得

|\兰格v，w\rangle|leq\frac{1}{2}(4)

这更接近于（1）；我们已经修复了左侧，但右侧仍然太弱。但我们可以进一步放大，利用不同对称中的不平衡，即同质化对称（v，w）\mapsto（\lambda v，\frac{1}{\lambda}w）对于标量\λ>0，保留左侧，但不保留右侧。将此转换插入到（4）中，我们得出如下结论

|\兰格v，w\rangle|\leq\frac{\lambda^2}{2}

哪里\λ>0由我们选择。我们可以在以下方面进行优化\λ通过最小化右手边，我们很容易看到最小值（或下确界，如果v和w中的一个消失）是\|v\|\|w（周）\|（这是在以下情况下实现的\lambda=\sqrt{\|w\|/\|v\|}什么时候v、 w个非零，或处于渐近极限\λ\到0或\lambda到infty在退化情况下），因此我们将我们的方法扩大到了Cauchy-Schwarz不等式（1）。[另请参见Tim Gowers的讨论关于Cauchy-Schwarz不等式。]

阅读本条剩余内容»

档案室

类别