“随机变量的置信区间”是不是不正确的术语？

Question

在讨论置信区间时，我看到过“总体参数不是随机变量”的说法。

例如在这里

请务必注意，总体参数不是随机变量。

在频率学家的解释中，我接受这一说法没有任何问题。根据这种解释，总体参数是固定的，但未知的。它们不是随机变量。

但是这个词置信区间也要携带特定的解释? 或者它只是数学函数（如上所示维基)以下为：

例如，我认为𝜃 （总体参数）为随机变量，X为随机样本。给定它们的联合分布，我计算函数：

P（u（x）<𝜃 < v（x））=c∀𝜃

它看起来像下图中的红线：

（数字借用自在这里)

现在，我把红线称为“随机变量的置信区间”是不是不对𝜃?

编辑：这个问题主要是关于语义的，得到了两个信息量很大的答案，对于和反对给定术语的特殊用法。我对这两个都投了赞成票（如果可能的话，我会接受这两个），但我选择不接受其中一个，因为这样做会（国际海事组织）判断一个比另一个更正确。最后，你选择哪一方是主观的（我在发布问题时不知道这一点），我把它留给未来的读者自己决定。

Answer 1

对$（1-\alpha\%）$-置信区间是观测值的函数X美元$创建包含true参数的边界$\θ$以一定频率$（1-\alpha\%）$如果我们考虑无限次重复实验的极限（更具体地说，这种成功的频率与之前的$\θ$).

对于这个定义，没有必要$\θ$是一个常数，每个实验都相同。参数的基本性质$\θ$置信区间是否为置信区间并不重要。

例如，可能是工厂测试糖含量$\θ$一批番茄酱中的糖分含量不是恒定的。不过，您可以为每个批次设计一个置信区间。

然而，关于“参数是常数”有一个微妙的注释，这是问题的主题贝叶斯观点中的“数据是固定的”和频率主义观点中的”数据是随机的“，在数学上谈论同一件事吗？在那次讨论中，我认为以下引用是关键点：

这并不是说数据或参数必须被认为是真正固定的，而是间隔与条件分布的计算其中一个（数据/参数）是在另一个（参数/数据）固定的基础上计算的。

正是在计算中，就像条件概率的计算一样，我们认为参数是固定的。但这些参数不需要是它们自己就能被固定。

置信区间的覆盖概率表达式为以参数值为条件，但参数不一定是常量参数，也可以是变量。这并不是说，参数的置信区间是从参数的随机分布中考虑的，其方法与贝叶斯方法中表示参数的先验分布和后验分布的方法相同。

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这也是一个语义上的讨论。在本例中，特定批次番茄酱的糖含量既是一个变量，又是一个确定的常量。

• 从这个角度来看，由于番茄品种、阳光、糊料浓度、热处理等各种随机因素，各批次的未知糖含量会略有不同，这是一个变量。

• 从这个角度来看，一旦番茄过去被创造出来（并且所有的随机变量都被“绘制”出来），它就有一个固定的真值。

它可以被视为大写变量之间的差异$Z$或小写$z（美元）$置信区间将参数视为固定实现，而不是具有分布的变量。没有计算参数的概率分布。这也类似于基准分布，与信心有关，与概率分布不同.

Answer 2

问题是，在我看来，“说”某事就是沟通，如果它强烈地引起误解，沟通就不好。

置信区间的概念与频率学家对概率的解释有关，其中参数不是随机变量，正如你所说的那样（至少在标准的频率学家定义和置信区间的解释中没有-原则上频率学家可以拥有包含随机变量参数的模型，但置信区间不会这样对待它）。

实际上，您可以定义一个设置，其中参数是随机变量，然后计算置信区间。没有人阻止你这样做。

现在你问，你是否可以说这是随机变量的置信区间$\θ$。我明白你的观点，但如果你这样说而没有给出进一步的解释，这看起来是错误的，因为它忽略了这不是定义置信区间的那种设置。贝叶斯主义者通常反对置信区间，而频率论者则反对将参数视为随机变量。因此，如果双方都认为你错误地使用了这个概念，那就是沟通错误。

但从技术上讲，你说得有道理。我认为如果你承认这个问题，它会更好地工作，比如“我对置信区间的行为感兴趣，在这种情况下$\θ$实际上是一个随机变量，由一些先验值生成。我将此称为“随机变量的置信区间”，承认此处使用的置信区间与CI的含义和最初定义不同。"

事实上，人们可能对此类实验感兴趣，因为即使从频率学家的角度来看，在某些情况下，也可能会有一些过程产生参数，这些参数可以用先验分布（“经验贝叶斯”）来描述，在这种情况下，人们可能有兴趣研究频率专家程序的特征，例如置信区间（忽略先验）。

但是也要注意，在这种情况下，定义置信区间的概率声明仍然$u（X）$和$v（X）$和是有条件的在$\θ$也就是说，它不是概率陈述关于 $\θ$给出了数据。这并不是证明费希尔的基准概率（如果你知道那是什么）的一种方法，试图对$\θ$不可信区间（我在这里以“内曼尼式”的方式将其作为一个错误来陈述，我很清楚这已经被一些非常聪明的人所捍卫，尽管不是基于这里讨论的论点）。

Answer 3

一定要注意人口参数不是随机变量。

然后你自相矛盾：

我认为𝜃 （总体参数）为随机变量。

不能将总体参数视为随机变量。你可以：

• 使用样本获取总体参数的估计值
• 尝试确定样本统计的理论抽样分布（可以是正态、t、F、二次方等）
• 通过使用样本统计的采样分布来生成真实总体参数的置信区间。

在任何阶段，人口参数都不是随机变量。相反，红线是使用（随机变量）样本统计生成的总体参数（固定但未知）的置信区间。

进一步评论概率的理论方法、频率方法和贝叶斯方法之间的区别很深，但也很微妙。在通常意义上思考概率时，我们通常会绕过“我是从哪个范式来处理这个问题的”这一思维过程？

一般来说，您的问题不在于概念，而在于您想使用与贝叶斯分析的频率学家解释相关的术语。这可能会混淆其他人。这也可能导致他们误会你。

一个简单的解决方案是使用贝叶斯术语。

进一步评论2要理解哲学冲突并不容易，必须小心处理，一个简单的方法是我认识的一位在采访中被问及的人的（真实）故事：

抛硬币落在头上的概率是多少？立即、自信地回答$\压裂{1}{2}$紧随其后的是残暴这个房间的天花板今天掉下来的概率是多少？

而潜在的问题是，采访者考虑的是贝叶斯概率（对硬币的真实了解尚不清楚），而被采访者（相当天真）考虑的是公平硬币的理论概率。

Answer 4

我认为你的困惑源于我们通常会有这样的表达P美元（a<X<b）$哪里X美元$，随机变量，位于中间，所以我们将其作为概率X美元$在间隔中下降【a，b】美元$.

现在，我们如何读取您给出的包含参数的CI的概率表达式？它的随机性是什么？为什么您的符号中的参数“代替”RV？

问题是，随机性来自区间本身，一组iid正常RV的样本平均值的95%区间由下式给出

$$\条{X}\pm 1.96\sigma/\sqrt{n}$$.

这里的样本均值是一个随机变量，代表了我们可以通过抽样n个观测值获得的所有可能的样本均值，将它们相加并除以n。其分布称为抽样分布。

所以，区间本身是随机的，你可以想象，每次你得到一个样本并计算CI，它的边界都会落在数字线上的某个地方。有时他们会摔倒$\θ$而其他时候则不然。这种情况发生的频率确切地说是

$P（l（X）<θ<u（X））=1-α$并注意到$X=（X_1，\cdots，X_n）$是一个随机向量。