SchrodingerPDE组件

SchrodingerPDE组件[变量,部分]

产生Schrö带模型变量的dinger PDE项变量和模型参数部分.

细节

  • 生成Schrö使用NDSolve/NDEigensystem求解丁格方程。给定变量和参数，将返回PDE运算符。示例如下。
  • SchrodingerPDE组件是类似于牛顿第二定律的非相对论性量子力学，描述了量子力学中波函数的时间演化。
  • SchrodingerPDE组件返回用作偏微分方程一部分的微分算子之和：
  • SchrodingerPDE组件可用于建模Schrö自变量dinger方程以米为单位TemplateBox[｛InterpretationBox[，1]，“m”，米，“米”｝，数量TF]，因变量单位为模板框[{解释框[，1]，“m”，米，“米”}，数量TF]^（-n/2）和时间变量单位为TemplateBox[｛InterpretationBox[，1]，“s”，seconds，“seconds”｝，QuantityTF]模板框.
  • 固定模型变量变量是变量={Ψ[x个1,…,x个n个],{x个1,…,x个n个}}.
  • 时间相关模型变量变量是变量={Ψ[t吨,x个1,…,x个n个],t吨,{x个1,…,x个n个}}.
  • 这个SchrodingerPDE组件基于动力学项和势项：
  • 是普朗克常数的换算单位模板框[{解释框[，1]，{“s”，，“J”}，秒焦耳，{焦耳，，“秒”}}，数量TF]、和是Schrö丁格电势，单位为模板框[{解释框[，1]，“J”，焦耳，“焦耳”}，数量TF].
  • 对于这个方程，质量可以是各向同性、正交异性或各向异性。
  • 对于磁场相互作用SchrodingerPDE组件是：
  • 以库仑为单位表示粒子的电荷模板框[{解释框[，1]，“C”，库仑，“库仑”}，数量TF].
  • 是矢量磁势，单位为模板框[{InterpretationBox[，1]，{“s”，，“V”，“/”，“m”}，每米秒电压，{{（，{”volts“，，”Seconds“}，）}，/，{（、”Meters“，）}}}，QuantityTF]，定义如下，其中是磁通量密度，单位为模板框[{InterpretationBox[，1]，“T”，teslas，“teslas”}，QuantityTF].
  • 磁场相互作用形式假设库仑定规条件：.
  • Schr的单位ö丁格PDE项是焦耳模板框[{解释框[，1]，“J”，焦耳，“焦耳”}，数量TF]乘以波函数的单位（TemplateBox[{InterpretationBox[，1]，“J”，焦耳，“焦耳”}，数量TF]）/（TemplateBox[{InterlateBox[，1'，{sqrt（，“m”，）}}，平方根米，{squart（，”米“，）}，质量TF]^n）.
  • 以下模型参数部分可以给出：
  • 参数违约符号
    “方位角QuantumNumber”无
  • 我
    • “磁矢量电势”0,矢量磁势
    “质量”1,质量in
    “普朗克常量”,普朗克常数
    “减少的计划常数”,约化普朗克常数
    “薛定谔电势”0五、 电位（J）
    “区域对称”无
    “颗粒电荷”1,充电
  • 所有参数可能取决于,和以及其他因变量。
  • 使用单位给出的参数转换为SI基本单位。
  • 普朗克常数和约化普朗克常量的默认值采用国际单位制。
  • 参数的可能选择“区域对称”是“轴对称”.
  • “轴对称”区域对称表示截断圆柱坐标系，其中圆柱坐标通过删除角度变量而减少，如下所示：
  • 维减少一般方程式
    一维
    二维
  • 使用“方位角数量” ，的SchrodingerPDE组件是：
  • 扩散分量影响纽曼价值.
  • 如果施罗德PDE组件取决于参数关联中指定的部分作为…,钥匙第页我…,第页我v（v）我,…，参数被替换为.

示例

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基本示例  (3)

为具有质量的粒子指定PDE操作符和潜力:

为具有质量的粒子指定PDE操作符和潜力普朗克常数减小:

定义一个简化普朗克常数为的哈密顿量，谐波电势和质量:

在精细网格上找到10个最小的本征值和本征函数：

可视化由减少的普朗克常数缩放的特征函数，以及由相应特征值偏移的特征函数：

范围  (16)

一维  (6)

定义Schrö丁格PDE操作员：

激活PDE操作员：

定义Schrödinger PDE操作符作为普朗克常数：

定义Schrödinger PDE操作符作为简化的普朗克常数：

定义Schrö具有质量的dinger PDE算子:

定义Schrö具有势的dinger PDE算子:

定义Schrödinger PDE操作符作为约化普朗克常数，质量，一个磁矢势和充电:

二维  (1)

为具有质量的粒子指定PDE操作符，约化普朗克常数和潜力在两个空间维度上：

三维  (2)

为具有质量的粒子指定PDE操作符，约化普朗克常数和潜力在三个空间维度中：

为带电粒子定义PDE运算符和质量在具有相应矢量磁势的外磁场中:

轴对称的  (3)

指定轴对称时间无关Schrö带约化的定格PDE项，对于具有质量的粒子，约化普朗克常数和潜力:

激活PDE操作员：

指定轴对称时间无关的Schrö带约化的定格PDE项，对于具有质量的粒子，约化普朗克常数和潜力:

激活PDE操作员：

使用简化的普朗克常数定义PDE运算符，一个质量和方位量子数:

将PDE中的参数替换为,和:

激活PDE操作员：

时间依赖性  (1)

指定与时间相关的Schrö质量粒子的dinger PDE项，约化普朗克常数和潜力:

材质对称性  (3)

定义具有潜力的PDE操作员具有各向同性质量:

定义具有潜力的PDE操作员，正交异性质量普朗克常数为1:

定义具有势的哈密顿量，各向异性质量普朗克常数为1:

泛化和扩展  (1)

用数字指定具有质量的粒子和潜力:

应用  (11)

计算与时间无关的Schr的本征系统ö普朗克常数为1，质量为1，势为1的dinger PDE算子:

可视化特征函数并标记特征值：

找出具有简化普朗克常数的10个最小本征值和本征函数以及分段势对于的负值和对于的正值.

定义PDE操作符：

绘制潜力：

在精细网格上找到10个最小特征值和特征函数：

看看能量特征值：

可视化按比例缩放的特征函数和相应特征值的偏移：

描述限制在半径为二维圆盘中的粒子，假设绕穿过圆盘中心的轴对称。假设粒子的波函数不依赖于极坐标。

设置轴对称Schrödinger PDE运算符，普朗克常数等于:

设置磁盘半径：

区域外的势能是无限的，然后波函数在边界处消失。

定义Dirichlet边界条件：

解决特征值问题：

可视化概率密度：

考虑一个模型，其中波函数可以以下列方式分离：，其中,和分别是圆柱坐标系中的径向、方位和高度坐标。在这里，是方位量子数。

这个特殊的例子考虑了一个被限制在具有无限势能壁的圆环中的粒子。考虑到这些因素，只需解决在圆环体的横截面上。

定义圆环体的主半径：

定义小半径为的区域:

将网格可视化为它表示的圆环体横截面：

定义边界条件，使波函数在圆环体边界处消失：

创建一个辅助函数，用PDE算子为方位角量子数的不同值找到六个本征态，这样和对于简化模型和对于环面内的粒子：

可以探索不同方位量子数的能级是如何变化的。为了举例说明，计算介于0和5之间。

计算每个值的能量特征值介于0和5之间：

将能量本征值绘制为方位量子数的函数：

观察能级如何非线性增长生长。此外，可以注意到基态是如何非简并的，而状态2和状态3以及状态4和状态5是如何双重简并的。

为了探索方位量子数对波函数的影响，绘制总波函数的实部和虚部。为此，您可以选择例如，.

计算能量和波函数依赖的部分和:

绘制波函数的实部和虚部:

现在绘制相同值的概率密度:

概率密度与坐标无关，如预期。

你可以研究一个量子台球系统，特别是一个限制在二维布尼莫维奇体育场内的粒子。

定义区域并将其可视化：

离散化区域：

生成Schrö无电势的丁格算子：

假设区域外的势能是无限的，波函数在边界处消失。

定义边界条件：

找到前100个本征态：

可视化能量级别：

绘制不同状态的波函数：

设置与时间相关的Schrö具有简化普朗克常数的dinger PDE算子：

以高斯作为初始设置求解方程：

应用使有生气解决方案：

建立非线性、时间相关的Schrö丁格PDE操作员：

定义边界和初始条件：

计算解决方案：

绘制溶液的绝对值：

建立一个与时间相关的Schrö具有谐波电势的dinger PDE算子：

以相干态作为初始设置求解方程：

使有生气势能按系数缩小的概率密度:

设置与时间相关的Schrö具有简化普朗克常数和高斯势的dinger PDE算子:

指定具有正动量的波包的初始条件：

可视化它以及被适合绘图的因素：

使用优化网格求解方程：

可视化解决方案，其中垂直轴和水平轴代表时间，和位置，，分别为：

请注意，大约，填满波浪的物体撞击墙壁并被反射。

使用动画将解决方案可视化：

为自由粒子定义操作符：

定义定义双狭缝的区域并将其可视化：

将初始条件设置为波包：

可视化初始条件：

解决PDE：

可视化解决方案：

你可以在指向方向。粒子由初始波包描述，目的是研究磁场相互作用下概率密度的演化。由于这是一个磁场中的带电粒子，人们可以期望它的概率密度反映某种圆形轨道，类似于经典带电粒子的行为。因此，我们选择了一个非常高的磁通量密度，使得回旋半径为埃量级。

分别设置约化普朗克常数、粒子质量、磁通量密度和粒子电荷：

定义常量以飞秒为单位测量时间：

粒子的初始状态将由具有动量的波包来描述也就是说，如果没有磁场相互作用，它将沿直线运动。

定义单位为模板框[{1，{“/”，“Au”}，倒数，{1，/，{（，“Angstroms”，）}}}，QuantityTF]:

磁通量密度被选择为具有埃级的回旋半径。

计算粒子的回旋半径：

可以选择磁矢势，以便:

工作区域可以定义为 模板框[{InterpretationBox[，1]，“Au”，ángströms，“Angstroms”}，QuantityTF].

定义区域：

因为长度单位是埃(模板框[{InterpretationBox[，1]，“Au”，ángströms，“Angstroms”}，QuantityTF])，在定义PDE操作符时需要考虑这一点。因此，“缩放单位”->{“米”->“埃”}用于SchrodingerPDE组件.

定义Schrödinger PDE算子，假设磁矢势为库仑规范：

设置初始条件：

更改的单位用于边界条件：

使用透明边界条件解决问题纽曼价值:

设置解决方案的动画：

属性和关系  (2)

为具有质量的粒子指定操作符和潜力普朗克常数减小:

激活组件：

当参数以单位给出时，它们会自动转换为SI基本单位。

用电子的质量和约化的普朗克常数指定PDE算符:

检查扩散系数中每个单位制之间的差异。计算普朗克常数除以电子质量：

将结果转换为SI基本单位：

整洁的示例  (1)

将量子阱势能定义为分段函数：

设置变量和参数，使质量和约化普朗克常数等于，对于简化的Schrö丁格PDE操作员：

使用NDE点火系统求解与时间无关的Schrö一维丁格方程。该可视化的目的是观察势垒高度和阱长对本征态的影响。我们可以看到增加井的长度是如何减少每个波函数的能量的。另一方面，增加势垒高度会导致更高的能量本征值。

定义一个函数来计算任何给定势垒值、阱宽或本征态数的本征态：

设置操纵:

Wolfram Research（2023），SchrodingerPDEC组件，Wolfram语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ShrodingerPDEComponent.html。

文本

Wolfram Research（2023），SchrodingerPDEC组件，Wolfram语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ShrodingerPDEComponent.html。

CMS公司

沃尔夫拉姆语言。2023.“SchrodingerPDEComponent”，Wolfram语言与系统文档中心。Wolfram研究。https://reference.wolfram.com/language/ref/ShrodingerPDEComponent.html。

亚太地区

沃尔夫拉姆语言。(2023). SchrodingerPDE组件。Wolfram语言与系统文档中心。检索自https://reference.wolfram.com/language/ref/ShrodingerPDEComponent.html

BibTeX公司

@misc{reference.wolfram_2024_schrodingerpdecomponent，author=“wolfram Research”，title=“{schrodingerpdecomponent}”，year=“2023”，howpublished=“\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Schrodinger PDECombonent.html}”]}

BibLaTeX公司

@online{reference.wolfram_2024_schrodingerpdecomponent，organization={wolfram Research}，title={schrodingerpdecomponent}，year={2023}，url={https://reference.wolfram.com/language/ref/SchrodingerPD Component.html}，note=[访问时间：2024年6月25日]}