在Polymath1的成功以及Polymath 3和Polymath-4的推出之后，Tim Gowers写了一篇博客文章“未来可能的数学项目”在他的博客上计划下一个博学项目。该帖子提到了9个可能的项目。（其中四人后来转向了博学项目。）在描述了一些拟议项目的帖子和单独帖子之后，进行了一些民意测验，并选择了一个问题——厄尔德的差异问题，作为下一个项目的综合数学题。在组合数学等我复习了2009年提出的一些项目，在同一篇帖子中，我简要地、有时含糊其辞地讨论了2021年的清单，我计划在未来几个月详细介绍和讨论这些清单。

有多项式吗具有有理系数的两个变量的映射是双射吗？ 这是一个著名的关于MathOverflow的9年前的开放式问题。 Terry Tao发起一种以算术代数几何中的一些猜想为条件来解决这个问题的博学尝试。这个项目是基于陶的一个解决方案的计划，类似于比约恩·普南（Bjorn Poonen）2009年的结果，他指出，在庞拜里·朗（Bombieri-Lang）猜想的条件下，存在一个多项式，使得地图是内射的。（Poonen的研究结果回答了哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）在20世纪末提出的一个问题，也与唐·扎吉尔（Don Zagier）提出的问题有关。）

十年前的2009年1月27日，Polymath1提出由Tim Gowers编写推出2009年2月1日。第一个项目很成功，接下来是15个其他正式的博学项目和一些其他类似性质的项目。

Bucić、Kwan、Pokrovskiy和Sudakov关于Rota猜想（polymath12）的进展

首先，罗塔的基本猜想有了显著的发展(Polymath12塑料)在论文中描述
罗塔的基本推测进行到一半作者：Matija Bucić、Matthew Kwan、Alexey Pokrovskiy和Benny Sudakov

摘要：1989年，罗塔做出了以下推测。给定$n$维向量空间$V$中的$n$基$B_{1}、\dots、B_{n}$，总是可以找到$V$的$n$disjoint基，每个基都包含每个$B_}$中的一个元素（我们称这种基为横向基）。尽管Rota的基本猜想表面上很简单，而且经过许多研究人员的努力（例如，该猜想最近成为了合作“Polymath”项目的主题），但它仍然具有很大的开放性。本文证明了总是可以找到$\左（1/2-o\左（1\右）\右）n$不相交的横基，改进了先前的$\欧米茄\左（n/\log n\右）$的最佳界。我们的结果也适用于拟阵的更一般设置。

http://front.math.ucdavis.edu/1810.07462

早些时候，最好的结果是不相交的横向基底。

H（H）下面是一篇关于更一般的卡恩猜想的后续论文

https://arxiv.org/abs/1810.07464

Polymath 16充满活力

平面色数的数学16是在它的第十一个岗位.在各个方向上有很多有趣的发展和想法！

博学图片

我拍了一些与我们的标志图片（最后一张图片如下）有点相似的图片。

因此，我想知道搜索“更简单”的例子是否可以作为一个Polymath项目。如果一个示例具有较少的顶点，或者如果它具有较小的最大子图-着色性必须直接检查，等等。我觉得有很多特性使这对Polymath来说很好：

1. 作为图论，它对非专业人士来说很容易理解/很有吸引力
2. 它需要理论和计算之间的丰富互动
3. 简单的图可能会导致对此类图将始终/通常具有的属性的深入了解，这可能会激发寻找6色示例的策略，改进更高维中类似问题的边界，等等。

欢迎评论！

德格雷

（来自帖子“素数的音乐马库斯·杜·索托（Marcus du Sautoy）

一个新的博学建议在Terry Tao的博客上写道：“基于评论中表达的兴趣前一篇文章，我现在正式提议发起“Polymath项目“关于获取新上界的主题德布鲁因-纽曼常数 。该职位的目的是描述提案并讨论项目的范围和参数。”

简要说明一下是里曼假设，众所周知.  布拉德·罗杰斯（Brad Rodgers）和泰瑞·陶（Terry Tao）证明了一个古老的猜测那个项目的目的是降低这个上限。（相对湿度不被视为现实结果。）

猜测的在线版本

对于一般拟阵来说，Rota的基猜想的在线版本是错误的，但询问有多少个基是可以实现的还是很有趣的。在我看来，《Polymath 12》最棒的一点是对这个问题的部分回答：它介于n个/3 +c（c）和n个/2 +c（c）有希望弥合这一差距。如果差距可以缩小，那么我认为这将是一篇可发表的短文。顺便提一下，如果一篇论文是由Polymath 12发表的，应该使用什么笔名？我知道D.H.J.Polymath被用于第一个项目，但也许R.B.C.Polymeth更有意义？

图形拟阵

早期有人建议，图形拟阵可能是一种更容易处理的特殊情况。起初我还不清楚为什么，但现在我明白了。具体来说，没有K（K）₄次是串并行的，因此是强基可序的，因此满足Rota的基猜想。因此，在某种意义上，K（K）₄是只有图拟阵对Rota的基猜想的阻碍，而对拟阵的类似主张一般不成立。

在我的一份文件粗略地说，我表明，如果有人能证明n个×2版本的罗塔基本猜想，那么这个事实可以被用来证明全部猜想。当然n个×2版本一般来说是错误的，但我确实相信，对仅仅两篇专栏文章中可能发生的事情的透彻理解将对完整的猜测有重要的见解。我提出的一个问题是n个如果我们拔出的长度不超过n个/3条边。这也许是一个有点笨拙的问题，但它试图解决是否存在n个×2反例，不仅是K（K）₄通过“不相交”的某些边进行扩展。如果我们能分类所有n个×2反例，那么我认为这将是向证明图形拟阵的完整猜想迈出的一大步。

当然，这并不是处理图形拟阵的唯一可能方法。主要的一点是，我认为在这个特殊情况下有可能取得重大进展。

计算调查

我提到了一个迈克尔·张未发表的手稿报告称n个=4的Rota基猜想对所有拟阵都成立。我发现这是一个令人印象深刻的计算，我认为它值得独立验证。

在我看来，为罗塔的基本猜想找到5×2的反例也会很有启发性。Gordon Royle提供了一个链接到所有九元素拟阵的数据库这应该会有帮助。卢克·佩博迪开始沿着这条路走，但据我所知，还没有完成计算。

强基序拟阵

1995年，Marcel Wild证明了以下结果（“引理6”）：成为-元素集这是一个不相交的联盟独立集大小为.假设存在另一个拟阵在同一地面上具有以下属性：

(1)是强基本可订购的。

(2)为所有人，其中是的秩函数.

（3） 所有电路属于令人满意的保持依赖于.

然后有一个网格，其第行包括并且其列在中是独立的.

作为引理6的推论，Wild得到了几个部分结果。我们能从中得到多少里程？我们总能找到合适的用于图形拟阵？

变量和相关猜想

我不太乐观地认为，这些将导致罗塔的基础推测本身取得进展，但也许我错了。Gil Kalai提出了几个建议：

1. 考虑d日+1个（密切独立的）尺寸子集d日+第1页，共1页使得原点属于每个集合的凸包的内部。有可能找到吗d日+1套尺寸d日+这样，每个集合都是一个彩虹集合，所有这些集合的凸包内部都有一个共同点？
2. 这个宽分划猜想或其任意分区的推广.
3. 如果我们有套餐B类₁, …,B类_n个（不一定是基础）不能进行安排，以便n个柱是基础，那么你能总是发现脱节吗n个+1套C类₁, …,C类_n个+1这样，每个集合最多包含每个集合中的一个成员B类_j个和所有线性跨度的交点C类_我不平凡吗？（我承认，我仍然不明白为什么我们应该期望这是真的。）

Pavel Paták提出了一个引理他的一篇论文这可能会有用。让M（M）成为一个等级的拟阵第页然后让S公司是一系列克朗元素来自M（M），拆分为第页子序列，每个序列的长度最多为k个.那么任何最大的独立彩虹子序列S公司是的基础M（M）当且仅当不存在整数时秒<第页和一套秒+1个颜色类，以便这些颜色类的并集具有秩秒.

在另一个方向上，有一些图形理论推测，例如布鲁尔迪-霍林斯沃思猜想：如果完整的图K（K）_2米（用于米≥3）是边着色的，这样每个颜色类都是完美匹配的，然后将边分解为米边缘不相交的彩虹横跨树木。

上一篇博客帖子的评论

最后，让我对我之前的Polymath 12博客文章中提出的研究方向发表几点看法。起初，我对没有小回路的拟阵持乐观态度，我仍然认为它们值得考虑，但现在我更悲观的是，我们可以从直接推广Geelen和Humphries的方法中获益匪浅，原因可以从阅读评论中找到。同样，我现在更悲观的是，代数几何方法将产生任何结果，因为作为基是一个开放条件，而不是一个封闭条件。

那篇博客文章中的其他线索没有得到太多关注，我认为它们仍然值得一看。特别是，旧的备用模型Alon–Tarsi猜想，可能仍然会承认更多的部分结果。丽贝卡·斯通的建议L（左）_n个^即使——L（左）_n个^古怪的≢0（修订版第页)何时第页= 2n个+1是prime在我看来仍然是一个好主意，我认为没有多少人认真考虑过这个问题。我也同意David Glynn的观点，即更多的人应该学习Carlos Gamas最近的论文关于Alon–Tarsi猜想。