球面坐标系下拉普拉斯方程的级数解

Question

很长一段时间后，我最近在研究格里菲斯电动力学，在那里我看到了拉普拉斯方程。因为这是我第二次复习Griffiths，所以我想也许我应该试着自己推导解，只是为了好玩，因为我真的想应用幂级数的技巧来求解微分方程。我开始用球面极坐标写拉普拉斯方程（假设不依赖于美元\斐$)$$\frac{1}{r}\frac}{\partial^2}{\propartialr^2}\left（rV\right）+\frac{1}}{r^2\sin\theta}\frac{\paratil}{\ partial{\theta{}}\ left（\sin\theta\frac{\partic V}{\pertial\thetaneneneep \right$$这只拉普拉斯犬并不是取自格里菲斯，而是取自杰克逊，它们只是在放射部分有所不同。现在使用变量分离法，$$V（r，θ）=\frac{r（r）}{r}\theta（θ）$$ $$\frac{r^2}{r（r）}\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{1}{Theta（\Theta）\sin\Theta}\frac{d}{d\Theta}\left（\sin\ttheta\frac{d\Theta}{d\\Theta}\ right）=0$$现在角度部分很明显只是勒让德多项式然后剩下的是径向方程，这是我的主要关注点。这本书只是描述了一种懒惰的方法，并给出了解决方案。我想用幂级数法求解径向部分方程。所以我的重点是柯西方程$$\压裂{r^2}{r（r）}\压裂{d^2R}{dr^2}=l（l+1）$$所以，我假设了一个幂级数$$R（R）=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$通过替换，我们得到，$$r^2\frac{d^2}{dr^2}\左（\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k\右）=l（l+1）\sum_{k=0.}^{\ infty{a_kx ^k$$这给了我们$$\sum_{k=0}^{\infty}k（k-1）a_kr^k=\sum_{k=0.}^{\ infty{l（l+1）a_kx^k$$这意味着$$k（k-1）=l（l+1）=λ$$ $$k^2-k-\lambda=0$$使用二次公式$$k=压裂{1\pm\sqrt{1+4\lambda}}{2}$$并通过替换$\lambda=l（l+1）$给予$$k=-l，l+1$$这确实形成了径向部分的解决方案。但这种方法存在一个问题。我们知道这一点1美元$是一个正整数，这意味着$k=-l$不可能，因为$k>0$那么，我们得到的是正确的解决方案，但使用的是错误的方法？我不知道该怎么评论。我想了一会儿，没有得出结论。那么，谁能指出我错在哪里吗？这将非常有帮助，因为同样的问题也出现在圆柱坐标系中。

Answer 1

一般来说，您需要这两种解决方案。你的势并不是唯一由调和定义的，你需要附加边界条件。如果您的域是一个球（包括原点），则不包括V美元=r^{-l-1}Y_l^米$解决方案。相反，如果您的域是球的补码（包括无穷大），则不包括$V=r^lY_l^m$解决方案。通常，如果域位于两个同心球壳之间，则需要两个解才能匹配内外壳边界条件。

对于您的方法，技术上需要排除负解，因为您正在寻找正幂级数。这并不矛盾，因为它只是表明你的答案不够笼统。在你的情况下，事实证明简单的幂律就足够了，不需要幂级数，只需要让幂是任意的（在某些情况下，你甚至需要复杂的幂btw）。这就是恢复两个幂律的方法。一般来说，泰勒级数不足以处理奇异常微分方程，对于正则奇异点，您更需要弗罗贝尼乌斯方法和不规则的奇点，你需要即兴发挥。

这同样适用于2D（和更高维度）。类似于1美元$是$m\in\mathbb Z$，所以$V\比例e^{im\phi}$现在有两种径向相关性的解决方案：$r^{\pm米}$类似地，您需要根据您的域使用这两种方法。在2D中，它更加透明，因为您可以使用$z=r^{i\phi}$如果你的域是一个圆盘，那么收敛的内半径是零，所以你的洛朗级数是泰勒级数，所以你只使用正幂$r^{|m|}$，反之适用于磁盘的补码。

讨论实际上是在任意维度上进行的。

希望这能有所帮助。