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| A111999型 |
| T（n，k）=[x^k]（-1）^n*和{k=0..n}E2（n，n-k）*（1+x）^（n-k）其中E2（n，k）是二阶欧拉数。按行读取的三角形，T（n，k）表示n>=1和0<=k<=n。 |
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13
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-1, 3, 2, -15, -20, -6, 105, 210, 130, 24, -945, -2520, -2380, -924, -120, 10395, 34650, 44100, 26432, 7308, 720, -135135, -540540, -866250, -705320, -303660, -64224, -5040, 2027025, 9459450, 18288270, 18858840, 11098780, 3678840, 623376, 40320, -34459425, -183783600, -416215800
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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箍筋1（n，n-m）=A008275号（n，n-m）=和{k=0..m-1}a（m，k）*二项式（n，2*m-k）。
关于细分多项式卷积的一般结果A133932号这里可以应用u_1=1和u_n=-t来获得这些无符号多项式的卷积结果-汤姆·科普兰2016年9月20日
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参考文献
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查尔斯·乔丹，《有限差分微积分》，切尔西1965年，第152页。表C_{m，nu}。
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链接
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S.Butler、P.Karasik、，关于嵌套和的一点注记，J.国际顺序。13（2010），10.4.4，第4页。
L.Takacs，关于不同森林的数量，SIAM J.离散数学。，3 (1990), 574-581. 表3给出了三角形的无符号版本。
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配方奶粉
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如果m<k+1，a（m，k）=0；a（1,0）=-1；a（m，-1）：=0；a（m，k）=-（2*m-k-1）*（a（m-1，k）+a（m-l，k-1））其他。
发件人汤姆·科普兰，2010年5月5日（2011年9月12日更新）：（开始）
从0到无穷大w.r.t.w的积分
exp[-w（u+1）]（1+u*z*w）^（1/z）给出了u中倒行多项式的幂级数f（u，z），单位为zA111999型，与对角线的Euler变换有关A008275号.
通过将z^n替换为x^（n+1）/（n+1！；
g（u，x）=x-u^2 x ^2/2！+（2u^3+3u^4）x^3/3！-（6 u^4+20 u^5+15 u^6）x^4/4！+，与f（u，z）相关联的一个例如f。
其中h（u，x）=1/（dg^（-1）/dx）=（1+u*x）/（1+（1+u）*u*x，
g（u，x）=exp[x*h（u，t）d/dt]t，在t=0时计算。此外，dg（u，x）/dx=h（u，g（u、x））。
（完）
对于m，k>0，a（m，k）=总和（j=2到2m-k+1）：（-1）^（2m-k+1+j）C（2m-k+1，j）St1d（j，m），
其中C（n，j）是二项式系数，St1d（j，m）是A008275号对于（j-m）>0，否则为0，
例如，St1d（1,1）=0，St1d2,1=-1，St1d-3,1=-3，St1d:4,1=-6。（结束）
发件人汤姆·科普兰，2011年9月3日（2011年9月月12日更新）：（开始）
从0到无穷大w.r.t.w的积分
exp[-w*（u+1）/u]（1+u*z*w）^（1/（u^2*z））给出了u中行多项式的幂级数F（u，z），单位为zA111999型.
通过将z^n替换为x^（n+1）/（n+1！；
G（u，x）=x-x^2/2！+（3+2 u）x ^3/3！-（15+20 u+6 u^2）x^4/4！+，例如，用于A111999型与F（u，z）相关。
G^（-1）（u，x）=（（1+u）*u*x-log（1+u*x））/u^2是比较。G（u，x）在x中的逆。
H（u，x）=1/（dG^（-1）/dx）=（1+u*x）/（1+（1+u）*x），
G（u，x）=exp[x*H（u，t）d/dt]t，在t=0时进行评估。此外，dG（u，x）/dx=H（u，G（u、x））。
（结束）
f（u，z）和f（u，z）可用不完全伽马函数Γ（v，p）表示（参见EqWorld中幂律函数的拉普拉斯变换）：
K（p，s）=p^（-s-1）exp（p）Γ（s+1，p），
f（u，z）=K（p，s）/（u*z），其中p=（u+1）/（u*z）和s=1/z，以及
F（u，z）=K（p，s）/（u*z），其中p=（u+1）/（u ^2*z）和s=1/（u ^2*z）。
（结束）
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例子
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三角形开始：
[1] -1;
[2] 3, 2;
[3] -15, -20, -6;
[4] 105, 210, 130, 24;
[5] -945, -2520, -2380, -924, -120;
[6] 10395, 34650, 44100, 26432, 7308, 720;
[7] -135135, -540540, -866250, -705320, -303660, -64224, -5040;
[8] 2027025, 9459450, 18288270, 18858840, 11098780, 3678840, 623376, 40320.
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MAPLE公司
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系数列表：=p->op（多项式工具：-系数列表（p，x））：
E2:=（n，k）->组合[eulerian2]（n，k）：
多边形：=n->（-1）^n*加（E2（n，n-k）*（1+x）^（n-k），k=0..n）：
seq（CoeffList（poly（n）），n=1..8）#彼得·卢什尼2021年2月5日
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数学
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a[m_，k_]：=a[m，k]=其中[m<k+1，0，And[m==1，k==0]，-1，k==-1，0，True，-（2 m-k-1）*（a[m-1，k]+a[m-1，k-1]）]；表[a[m，k]，{m，9}，{k，0，m-1}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年9月23日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008517号（二阶欧拉三角形），用于|Stirling1（n，n-m）|的类似公式。
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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