数学家回答关于奇数图的老问题
一对数学家解决了一个关于连接数为奇数的图中顶点比例的传奇问题。
- 作者：Kevin Hartnett
- 2021年5月20日
F类几十年来，数学家们一直在讨论一个关于图及其连接数的简单问题。现在，利用一个数学本科生本可以想出的论点阿萨夫·费伯加州大学欧文分校迈克尔·克里维列维奇特拉维夫大学最终以证据的形式提供了答案发布于2021年3月.
海法大学（University of Haifa）的数学家亚尔·卡罗（Yair Caro）说：“至少对我来说，这种聪明但基本的论点组合就足够了，这有点令人惊讶。”。
图形是由边（线）连接的顶点（点）的集合。经过数百年的研究，数学家们仍在研究它们的基本性质。一个是关于图的顶点的“奇偶性”，即它们是否连接到奇数或偶数个其他顶点。
上个世纪以来，数学家已经证明了许多与奇偶性有关的基本结果。20世纪60年代，Tibor Gallai证明了总是可以将图的顶点分为两组或子图，这样每个子图中的所有顶点彼此之间的连接数都是偶数（忽略它们与组外顶点的连接），这是一个称为偶数“度”的属性
大约在同一时间，他观察到，总是可以将图中的顶点分割为两个子图，这样一个子图中的所有顶点都具有偶数阶，而另一个子图的所有顶点均具有奇数阶。
然而，最后一个选项是不可能的：没有办法将每个图分割成两个子图，这样每个图中的所有顶点都具有奇数阶。我们之所以知道这一点，是因为在17世纪30年代，莱昂哈德·尤勒（Leonhard Euler），也许是历史上最多产的数学家，证明了如果一组顶点都具有奇数阶，那么该组顶点的数量必须为偶数。如果您将图的顶点拆分为两个子图，并且每个子图中的所有顶点都具有奇数阶，则每个子图的顶点数必须为偶数，因此原始的未拆分图也只能具有偶数个顶点（因为两个偶数之和总是偶数）。这意味着，如果原始图形的顶点数为奇数，则无法进行拆分。
考虑到你不能总是把一个图分割成两个奇数阶的子图，下一个自然的问题是：在一个图中，你总是可以保证有奇数阶顶点的最大比例是多少？
Krivelevich说：“你不能做奇数运算，因此你需要满足于下一个最好的事情，也就是说，让我们对大部分顶点进行奇数运算。”。
特拉维夫大学的迈克尔·克里夫列维奇（左）和加州大学欧文分校的阿萨夫·费伯（Asaf Ferber）已经证明，任何图的总顶点中至少有1/10000形成一个子图，其中所有顶点之间的连接数都是奇数。MFO；利亚姆·哈迪曼为了巩固这个问题，请考虑一个简单的示例：一个具有三角形形状的三个连接顶点的图。您可以隔离任意两个顶点，并看到它们彼此共享奇数个连接（1）。换句话说，可以识别三角形的子图，该子图包含三角形总顶点的三分之二，其中所有顶点都具有奇数阶。
大约50年前，数学家预测，对于给定大小的图，总是存在一个所有奇数度的子图，该子图至少包含了总顶点数的恒定比例，如1/2、1/8或32/1007。无论一个图有20个顶点还是20万亿，子图的大小都应该满足或超过相同的比率。
“关键是，你的原始图形可以越来越大，我们仍然能够保持相同的比例，”克里夫利维奇说。
但多年来，没有人能找到这样一个具体的比率。在20世纪90年代初，Caro发现了一个随图形大小而波动的比率，而不是一个常数。他证明了如果你有N个图中的顶点，有一个子图包含至少1/√N个顶点，其中所有顶点都有奇数度。两年后阿列克西·斯科特将结果提高到1/日志N、 这比Caro的结果更接近于一个恒定的比率，但并非总是如此。
斯科特现在是牛津大学的教授，他说：“很近，但没有雪茄。”。
近30年来，这个问题的进展一直乏善可陈，直到2020年2月，费伯的前研究生导师克里夫列维奇（Krivelevich）前往加利福尼亚州与他会面。
Ferber最近重新讨论了关于奇数图的问题，这是由他的一位同事问他的一个切合实际的问题引起的。他向Krivelevich提出了这个问题，他们开始制定未来六个月的战略。
他们之前的其他人也遵循了他们的基本方法，即将图分为三种类型：“稀疏”图，其中有许多顶点连接到少数其他顶点，“密集”图，其中单个顶点连接到许多其他顶点（相对于图中的顶点总数），以及中间的图，没有这些品质。上世纪90年代的前期工作使稀疏和密集的案例易于理解。最困难的部分是理解中间立场。
“问题是，你在这两者之间做什么，”费伯说。
他们提出了一个程序，使他们能够证明，如果一个图既不稀疏也不稠密，那么它必须具有另一种质量：许多小的子图，它们本身是稠密的（尽管相对于整个图来说不是稠密的），并且彼此完全断开。证明这最后一点，即许多小的稠密子图彼此不相连，是该项目最棘手的部分之一。
费伯说：“要显示出它们之间没有边缘是相当痛苦的。”。
Ferber和Krivelevich确定，可以将这些小而密集的子图连接在一起，以创建一个更大的子图，其中所有顶点都具有奇数度。现在，他们已经涵盖了所有的可能性——解析图、稠密图和介于两者之间的图，并表明它们都必然包含一定大小的奇数子图。
在2020年的一个错误开始后，当斯科特让他们知道他们能够避免的一个关键错误时，费伯和克里夫利维奇于2021年3月底公布了最终结果。他们证明了每个图都包含一个子图，至少占其顶点的1/10000，其中所有顶点之间的连接数都是奇数。最后，他们得到了常数分数。
（他们得出的实际比例稍大，但出于美学原因，他们将其四舍五入为1/10000。“想象一下，如果我们写1/9456或其他一些难看的表达，”费伯说。）
从这里开始，至少有两条路要走。首先是尝试提高分数。很可能，必须具有奇数连接的顶点的比例大于1/10000。在20世纪90年代，斯科特推测可能高达2/7，未来的工作可能会追赶这个数字。
第二个问题涉及一系列相关问题，这些问题在这项工作之后开始了新的生活。
数学家希望了解具有其他常见数字属性的顶点集合的大小，例如大型顶点组，其中没有一个与可被3或5平均整除的许多其他顶点相连。目前尚不清楚这些情况是否也可以用简单分数表示，但令人鼓舞的是，奇数阶顶点的比例可以是。
斯科特说：“（证据）表明，你也应该希望在那里得到一个好的答案。”。
引导图像：该图突出显示的部分形成一个子图，其中所有顶点彼此之间的连接数均为奇数。数学家现在知道了在任何图中保证具有此特性的子图的最小大小。图片来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
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Kevin Hartnett是Quanta杂志涵盖数学和计算机科学。他的作品被收录于2013年和2016年的“数学最佳写作”系列。他还写了“Brainiac”，为波士顿环球报的创意部分。
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