我想象中的数字根本不是虚构的。事实上，它们对我们生活的影响远远超过任何真正想象出来的东西。如果没有虚构的数字，以及它们在为家庭、工厂和互联网服务器提供电力方面发挥的重要作用，现代世界将不复存在。学生们可能会向数学老师抱怨说，任何人都没有必要学习如何使用假想数字，他们必须放下手机，关掉音乐，并从宽带路由器上拔出电线。但也许我们应该从解释什么是虚数开始。
我们现在知道如何使一个数字平方（乘以它本身），并且我们知道负数平方后就是正数；负数乘以负数就是正数，记得吗？所以（-2）×（-2）=4。我们还知道，求平方根是平方的逆运算。因此，4的可能平方根是2和–2。这个虚数来自于询问-4的平方根是多少。
我们在这里发现的并不是关于宇宙的深层奥秘。
这个问题毫无意义吗？如果你把一个数字平方，不管是正数还是负数，答案都是正数。所以，如果你从负数开始，就不能进行逆运算。亚历山大港的苍鹭似乎就是这么想的。Heron是埃及建筑师，他的数学技巧测体积学给了我们圣索菲亚大教堂的圆顶。在同一卷中，他展示了如何计算截断方形金字塔的体积；也就是说，一个顶部被砍掉的金字塔。他举了一个例子，用225减去288，然后求出结果的平方根。然而，结果是一个负数：-63。因此，答案可以通过√–63找到。
出于某种原因，无论是感觉出有什么错误，还是有人抄写了错误的东西，还是因为它太荒谬了——我们已经证明了Heron忽略了减号，而是将答案作为√63。
负数的平方根就是我们现在所说的虚数。第一个提出不应忽视它们的人是16世纪的意大利占星家杰罗姆·卡达诺，他开始了一项宏伟的工程：一本详细介绍他所在时代所有代数知识的书。在解三次方程时，他停下来盯着这个问题。起初，他称之为“不可能的情况”。在1545年出版的代数书中，伟大的艺术他举了一个例子，试图将10除以两个数，然后相乘得到40。在查找这些数字的过程中，您会遇到5+√–15。
卡达诺没有回避这次意外的遭遇。事实上，他甚至草草记下了一些关于它的想法。然而，他用拉丁语写作，而翻译人员对他的实际意思争论不休。对于一些人来说，他称之为“错误位置”。对于其他人来说，这是一个“虚构”的数字。还有一些人说，他将这种情况描述为“不可能”解决。他对如何在这种情况下继续进行的进一步评论之一被翻译为“放下精神折磨”和“失去想象的部分”。在其他地方，他将其称为“算术微妙，其结果……既精致又无用。”他说“这确实很复杂……在纯负数的情况下，人们无法进行其他可以进行的运算。”。他对负数很满意，并写道：“√9要么是+3，要么是-3，因为加号[乘以加号]或减号乘以减号会产生加号。”然后他继续说道，“√-9既不是+3，也不是-3，而是某种深奥的第三类东西。”Cardano显然认为负数的平方根是一种深奥和抽象的东西，但同时他知道他们某物-以及一个数学家应该参与的事情。不过，这项任务并不适合他；卡达诺后来的著作都没有提到负数的平方根。几十年后，他把这个问题留给了他的同胞拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）来解决。
在他所谓的“疯狂思维”中，庞贝利在1572年提出，5+√-15中的两个术语可以被视为两个独立的事物。“整个事情似乎都是靠诡辩而非事实，”他说，但他还是做到了。我们今天仍然这样做，因为它有效。
对自然界的完整数学描述需要虚数的存在。
孟贝利的两个独立的东西是我们现在所说的实数和虚数。这两者的组合被称为“复数”（它是“军工综合体”中的复数，指的是实部和虚部的组合，而不是复杂性）。但让我们澄清一下。如果说我们在重温数学的时候学到了一件事，那就是所有的数字都是虚构的。它们只是一种符号，有助于理解“多少”的概念。因此，将“虚数”这个名称用于负数的平方根是贬义的，也是无益的。
也就是说，我们应该承认区别。数学家所说的“实数”是你更熟悉的数字。两个苹果中的“两个”；3.14…π；分数。正如正数在某种意义上是由负数补充的一样，我们所称的实数也由我们现在所称的虚数补充。把它们想象成阴和阳，或者头和尾。当然不是想象中的那样。
邦贝利在他的疯狂思考中证明了这个新的数字部落在现实世界中可以发挥作用。他着手求解一个Cardano放弃的三次方程：x三= 15x个+ 4. 卡达诺的解决方案要求他处理一个包含–121平方根的表达式，他只是不知道该怎么处理。另一方面，邦贝利认为他可能会尝试将正常的算术规则应用于平方根。所以，他说，也许√-121和√121×√-1是一样的，也就是11×√-1。
Bombelli的重大突破是，在计算过程中，一旦这些奇怪的、看似不可能的数字与其他更熟悉的数字类型分离出来，它们就会遵守简单的算术规则。那之后的一切都是棘手的。
从卡达诺的三次方程出发，他最终得出了一个解决方案：
x个= (2 + √–1) + (2 – √–1)
把它们分为我们现在所说的实部和虚部，它简化为2+2和√-1减去√-1。想象中的部分消失了，留给我们的只有2+2。所以x个=4是x的解之一三= 15x个+4。插上电源，自己检查。
T型这些天，惯例是使用我表示√-1。瑞士数学家伦纳德·欧勒首先提出了这一点。很容易假设我代表想象，但事实是，正如他的e（电子），Euler可能只是随机选择了它。不管是什么原因，欧拉的行动已经巩固我以一种非常无益的方式将其视为虚数。
为了更好地了解虚数是什么，让我们考虑一条从-1到1的标准数字线（你可以把它看作是放在你面前的桌子上的标尺，从左边的-1到右边的+1）。我们把沿着直线移动的过程称为加法和减法（我的值是0.3，我再加0.3，这个值是0.6）。但我们也可以想象通过乘法进行一些移动。如果我从1开始，我如何到达–1？我乘以-1。让我们把-1乘以半圈，逆时针旋转，围绕一个圆（在我们的例子中，这个圆穿过1和-1）。它实际上是旋转了180度。在数学家首选的表示角度的单位中，180度是π弧度（360°，一个整圆，是2π弧率）。
如果我们只做一半的旋转会发生什么？这是乘以–1的一半，你可以认为这与乘以√–1是一样的。旋转仅π/2弧度（或90°），使我们的数字位于圆周的顶部，远离标准数字线。所以我们可以把-1的平方根想象成坐在与我们熟悉的数字线成直角的数字线上。这只是另一组数字，这次是在一把尺子上，它与另一把尺骨呈90°相交，形成一个十字形，+1在离你最远的一端，-1在你正前方。
这让我们找到了一个有趣的地方。圆周旋转的链接意味着我与π以及角度的正弦和余弦有关。这种关系是通过这个奇怪的数字来调解的e（电子）通常称为欧拉数。这个“无理”数字从序列2.71828开始……一直持续下去。它在数学中无处不在，对统计学、微积分、自然对数和一系列算术计算都至关重要。欧拉通过选取一种特殊的无穷级数（称为泰勒级数），并推导出现在被称为欧拉公式的东西，精确地得出了这一结果：
e（电子）±iθ=cosθ±我正弦θ
这表明自然对数的底和虚数之间存在基本关系。更重要的是，您可以将其简化为称为欧拉恒等式的关系：
e（电子）iπ+ 1 = 0
对一些人来说，这是一个近乎神秘的公式。这里是自然对数的底e（电子）; 数字0和1，这两个数字在整个数字行上都是唯一的；虚数，这是它自己的一个特例；π，我们知道它是数学中的一个能量来源。尽管不同的人在不同的时间看到不同的数学片段时发现了它们，但事实证明它们是相互关联的，在这个优雅、简单的方程式中共存。
从稍微不同的角度来看，也许我们不应该感到惊讶。与π本身一样，这个公式也没有什么神秘之处。这是由于数字通过旋转改变和变换自身以及彼此。这只是因为数字是什么：数量之间关系的表示。通过加减运算沿着熟悉的“实数”行移动，我们没有发现任何神秘之处。实际上，通过乘法和除法产生的变换没有什么不同。记住正弦和余弦只是一个数除以另一个数的比值，与三角形中的角度有关，你可以用π的分数或倍数来表示这些角度，单位为弧度。因此，我们在这里发现的并不是关于宇宙的一些深层奥秘，而是一组清晰而有用的关系，这些关系是以不同方式定义数字的结果。
事实上，这些关系非常有用，可以说是至关重要的。以它们在科学上的应用为例：对自然的完整数学描述似乎需要虚数的存在。“真实”的数字是不够的，我们已经学到了很多。它们必须与假想的数字结合起来，才能形成庞贝利首先创建的“复数”。数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）表示，结果是一个美丽的完整性。他在书中说：“复数和实数一样多，甚至可能更多，都与大自然找到了真正非凡的统一。”通往现实之路“就好像大自然自己和我们自己一样，对复数系统的范围和一致性印象深刻，并赋予了这些数字在其最小尺度上对其世界的精确操作。”换言之，必须发现虚数，因为它们是描述自然的基本部分。
迈克尔·布鲁克斯是英国的科学作家。他最近的一本书是更多的艺术：数学如何创造文明.
摘自更多的艺术：数学如何创造文明迈克尔·布鲁克斯。版权所有©2022迈克尔·布鲁克斯。经企鹅兰登书屋有限责任公司旗下Pantheon Books许可摘录。保留所有权利。未经出版商书面许可，不得复制或转载本摘录的任何部分。
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