K（K）恩·小野（en-Ono）在谈到圆周率的一个特殊公式时感到兴奋，圆周率是圆周与直径的著名且神秘的比值。他给我看了一段一国家地理杂志显示尼尔·迪格拉斯·泰森（Neil Degrasse Tyson）问他如何将数学之美传达给街上的普通人。
作为回应，小野给泰森和后来的我看了一个所谓的π连分数，它有点像一个由镜子组成的数学游戏厅走廊。分数的分母也包含一个分数，而不是分子中的单个数字和分母中的一个数字，该分数的分分母也有一个分数。以此类推，无穷无尽。写下来，这个公式看起来就像一个楼梯，当你为了追求难以捉摸的圆周率而下降时，楼梯会变窄。英国数学家莱昂纳德·杰伊·罗杰斯和自学成才的印度数学家斯里尼瓦萨·拉马努詹独立完成了这项计算，除了加法、除法和平方运算之外，没有什么比这更复杂的了。弗吉尼亚大学数学系主任小野（Ono）通过Zoom问我：“你怎么能不说这很神奇？”。
我们可以重新设计数学教育，使其支持而不是破坏学习。
作为一名圆周率爱好者，我在朋友中以主持而闻名圓周率日馅饼派对——我不得不同意他，这是一个令人眼花缭乱的公式。但并不是每个人都能从分数或数学中看到美。事实上，在美国，数学常常让人恐惧而非敬畏。20世纪50年代，一些教育工作者开始观察一种他们称之为学生数学恐惧症的现象，1尽管这只是他们在学生中看到的一长串学术恐惧症之一。今天，近五分之一据估计，美国成年人的数学焦虑程度很高，2和a2016年研究发现11%的大学生经历了“高度的数学焦虑，需要咨询。”三
数学焦虑似乎普遍与全球数学成绩较差有关， 根据2020年的一项研究斯坦福大学和芝加哥大学。4虽然许多关于潜在原因的问题仍然存在，但美国高中数学成绩往往排名靠前 低于许多其他国家例如，2018年，美国学生在PISA考试（每三年进行一次国际评估）中的数学成绩排名世界第30位。
一些学者认为，美国文化中充斥着对数学的负面刻板印象，再加上当前教授这门学科的方法，使焦虑长期存在，使一些孩子认为自己数学不好，并阻止他们取得优异成绩。研究显示人类天生就有一种数字感，即所谓的数多。5数字的概念是唯一被映射到大脑特定区域的高级认知功能之一。换句话说，我们已经做好了做基础数学的准备，但文化会挡道。最近的神经科学、行为和认知研究可以帮助我们重新设计数学教育，使其支持而不是破坏学习，甚至激发人们对数学神秘优雅的热爱。
T型“数学”这门学科影响深远，范围广泛，涵盖了从计数到素数到代数拓扑但在最基本的层面上，科学表明我们生来都有一种量.6人类婴儿早在6个月大时就能够理解这个概念，早在他们大量接触人类文化或语言之前。这种对数字的前语言意义被认为是构造块无论是在童年还是成年时期，都有较高的数学能力。7在一项研究中，研究人员发现，婴儿时期直觉数字感较强的3岁儿童在数学成绩测试中得分显著提高，即使研究人员控制了一般智力。而且2013年的研究当时都在杜克大学的Joonkoo Park和心理学家Elizabeth Brannon的研究发现，学生可以通过训练来提高他们的数学水平，从而提高他们估计数量的能力。8
这种估计和理解数量的能力可能已经发展成为一种基本的生存技能。例如，它本可以帮助我们的祖先和其他物种的成员快速评估他们是否被捕食者赶超，或者是否在相对其他物种而言拥有更多可用食物的地方觅食。德国图宾根大学的安德烈亚斯·尼德（Andreas Nieder）曾研究过物种多样性中的数字感知，他认为感知数字的认知系统是独立进化的，而在进化树中相距遥远的物种，如猴子、鸟类和昆虫，则是平行进化的。鸽子可以被训练成啄食在黑板上的一定次数。9海豚似乎能够理解少的数字概念10和蜜蜂，根据一项研究，能掌握“零”的概念11
为了Pi的爱：这个难以捉摸的数字鼓舞了许多数学爱好者。弗吉尼亚大学数学系主任Ken Ono在被问及如何向普通人传达数学之美时，提到了一个既简单又复杂的圆周率公式。Al Mamun设计师/Shutterstock的插图。然而，科学家们似乎达成了共识，即只有人类才能在头脑中准确地用符号表示数字，而我们需要某种教育才能做到这一点。这可能是因为许多高等数学技能，包括算术，取决于语言的使用&一个基于符号的系统，其中基于数量的判断是语言前的判断。5事实上，如果一个人没有算术的语言，那么算术是很难做到的。2004年的一项研究例如，研究了亚马孙语Mundurukú的使用者，该语言没有表示大于5的数字的单词，发现使用者“在精确计算大于4或5的数字时”表现不佳12A类2013年研究在里面神经科学和教育趋势比较了受教育和未受教育的西方成年人的相对数学能力，发现他们近似大数的能力存在显著差异。13
如果我们有天生的理解数学的能力，并认识到数学在理解世界中的重要性，为什么西方文化中有那么多人与数学相反？研究数学和数学教育的学者很难回答这个问题。
也许这与我们美国人对数学能力的概念化方式有关。西方人经常说，“我数学不好”，就好像这是一种性格特征，甚至是一种荣誉。威斯康星大学麦迪逊分校数学教授、《形状：信息、生物、战略、民主和其他一切的隐藏几何“这是一个非常糟糕的误解，”他补充道。
当然，有些孩子确实有临床学习障碍，这不是由焦虑、文化误区或糟糕的教学造成的。发展性计算障碍是一个临床术语，指有数学相关学习障碍的人，影响大约3%至7%的人口。这是一种不太为人所知的诵读困难的类比，是一种与阅读有关的学习障碍，这两种情况经常同时发生。
西方人经常说“我数学不好”，好像这是一种性格特征。
但相信自己数学不好会成为一个自我实现的预言。有证据表明，女性数学能力不如男性的文化假设可能是造成数学成绩性别差距的主要原因。种族成见也会影响表现。范德比尔特大学（Vanderbilt University）多元化和STEM教育教授乌博尼·麦基（Ebony McGee）花了十多年时间研究STEM领域的系统性种族主义问题。在她的书中黑人、棕色和伤痕累累：种族化的STEM教育如何阻碍创新，她指出，黑人、土著和拉丁美洲学生经常报告“被孤立、感觉或被定位为冒名顶替者”的经历，以及其他种族偏见，这些偏见分散了他们的学习，消耗了他们的精力。
数学焦虑也可能会从老师和父母那里传播给孩子。“来自美国的证据表明，与高度焦虑的成年人互动的儿童相对于同龄人而言，数学表现较差，”2017 学习写的。4斯坦福大学（Stanford University）的乔·博勒（Jo Boaler）和同事们正在开发一个名为挣扎着“神经科学非常清楚地表明，每个人都在成长之旅，”博勒说。“有天赋的人是不会被截断的。”
即使称孩子“有天赋”或“聪明”，或者告诉他们有“数学头脑”，正如博勒所说，这也会产生意想不到的后果，因为他们设定了一个以后可能很难实现的期望。我与此相关。我喜欢在高中的“天才”暑期课程中学习高等数学，但后来在大学的第一个学期里，我在多元微积分方面遇到了困难，我确信天赋已经过期了。没有人认为我那令人沮丧的漫长学习之夜只是为了获得B，这应该是我人生旅程的一部分。相反，像其他很多人一样，我只是没有再上数学课。
O（运行）长期以来，数学教育者面临的一个关键问题是，如何教授广泛的概念，培养深层次的理解，同时平衡孩子们最害怕的课堂部分：记忆和重复。
就在十多年前，美国大多数州采用了数学共同核心州标准，为学生从幼儿园到12年级的学习制定了雄心勃勃的目标。这些标准不仅适用于数学教学的内容，也适用于教学方式。其目的之一是将教学方法从操练和记忆转变为更加强调理解数学概念及其相互关系。2021年一篇论文的作者写道，关于新标准是否导致了数学成绩的提高的研究“很少而且充满了警告”AERA开放日记账。他们在对芝加哥学校的研究中发现，当教师接受了实施标准的专门培训后，表现不佳的孩子的成绩、及格率和考试成绩都会显著提高。14
博勒及其同事提倡改革加州的数学框架，一套与共同核心并列的教学标准，将数学概念组合成与生活世界相关的“大创意”。例如，三年级学生可以学习分数和多边形等概念，这些概念通常是在地砖形状的背景下单独教授的。她说，通过将它们结合起来，“教师可以专注于更少的事情，但可以通过更多的联系获得更丰富的内容。”。Boaler正在进行定时记忆训练，她说这会加剧数学焦虑。波勒说，数学事实——7乘8的结果等等——仍然很重要，但强调其意义和情境相关性的课程最有助于学生学习。
数学和音乐在共同的大脑区域方面存在相关性。
芭芭拉·奥克利（Barbara Oakley）提出了一个看似相反的观点数字思维：如何擅长数学和科学,他认为，归根结底，学习数学更像是学习一门语言或学习音乐，而不是其他形式的学习。在一个个人散文对于鹦鹉螺关于她是如何在晚年转向数学并成为一名数学家的，她写道，重复和记忆是必不可少的，而专注于理解概念而不是死记硬背可能会破坏数学学习。虽然这看起来像是一场辩论，但不一定非要这样，课程不是纯粹的概念驱动的，也不是纯粹的记忆驱动的。每个人都需要理解这些概念，但也需要练习使用它们。事实上，那些只依靠记忆来学习数学的学生——美国过去一直在这方面排名靠前执行比那些在PISA数学评估中注重理解概念之间关系的人更糟糕。15
一种似乎将概念和实践结合在一起的方法被称为“组块”。奥克利在她的书中写道，它包括将你需要学习的材料变成“组块（blocks）”，这些“组块是通过意义联结在一起的信息片段”。这个想法是，通过分解大问题、概念或过程，您可以集中精力处理可消化的单个组件。
在采访中，奥克利经常以倒车为例。如果你以前从未驾驶过，你需要考虑整个行动顺序来实现这一点：看后视镜、检查盲点、倒车、转动方向盘等。但一旦你经常倒车，这就变成了第二天性——你甚至都不考虑个别步骤。奥克利写道：“对于你想学的任何数学原理，也可以这么说。”。她概述了分块的三个步骤：将注意力集中在分块上，理解信息背后的潜在思想，并查看其上下文。当你记住并彻底练习每一个块时，你可以把它们合并成概念上相连的更大的块。
博勒还主张采用更多的多感官学习方法，指向研究认知神经科学家维诺德·梅农于2015年出版。16梅农和他在斯坦福大学的同事发现，当一个孩子处理数学问题时，五个不同的大脑区域是活跃的，其中两个区域与视觉通路有关。她认为，如果数学课涉及更多的视觉化和其他多感官组件，那么他们就会利用这些数学学习网络。
她说：“当他们用数学建模或移动时，所有这些都有助于开发大脑的不同部分。”。A类2016年论文Boaler的小组发表在应用与计算数学杂志指出即使是高等数学也是高度直观的。17
在爱尔兰，弗拉维亚·桑托斯（Flávia Santos）的团队一直在探索如何利用数学和音乐的相互联系来帮助患有计算障碍的孩子。神经科学研究支持这样的观点，即数学和音乐在相关活动中激活的共同大脑区域方面存在相关性。
桑托斯指出，数学和音乐都是带有符号的固有系统。无法证明精通其中一种会导致另一种优秀，但分数、比率和模式识别对两者都很重要。所以，桑托斯认为，音乐训练也许对数学学习也有好处。18研究表明，它增强了时空推理，从而支持学习数学概念。到目前为止，虽然只观察到少数群体，但结果是有希望的。例如，在2020年研究在日志中心理学前沿她的小组报告称，一项包括唱歌、打击乐和身体运动的训练，与巴西小样本儿童的数学理解测试成绩有着积极的联系。19
最终，每个孩子都有特定的需求，家长可以与老师合作找出量身定制的方法。但是，一般来说，父母可以通过避免分享自己的数学焦虑，鼓励创造性地解决问题，从而对数学产生积极的态度。博勒说：“永远不要和你的孩子分享‘我数学不好’、‘我讨厌数学’这些我们知道的话都会对学生产生负面影响。”。“但也要尝试参与数学，帮助他们将其视为一个有趣的难题。”
小野的父亲高市是约翰·霍普金斯大学的数学教授，他敦促小野从小就学习数学。小野说：“在很长一段时间里，数学意味着计算或记忆。”。但在十年级时，当一封“神奇的信”从印度寄到马里兰州路德维尔的家中时，他对它产生了真正的热情。这封信是由数学家斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan）的遗孀用宣纸打印出来的，她去世时享年32岁。她感谢小野的父亲为纪念小野的拉马努扬半身像的制作提供资金。Takashi泪流满面，告诉儿子Ramanujan克服的障碍——种族偏见、贫困、大学辍学两次——成为20世纪最具影响力的数学家之一。
小野看到了拉马努扬的故事和他父亲的数学之旅之间的相似之处。罗马努扬（Ramanujan）提出了小野（Ono）给我看的π的连分数公式，他坚持了下来。小野继续从事学术生涯，并因解决拉马努扬工作中的奥秘和问题而在数学界声名鹊起。
小野告诉我：“对我来说，罗摩努扬象征着真正的创造力，你可能会想到的想象力的飞翔，一位伟大诗人脑海中浮现出的诗歌。你不知道它从哪里来。然后你必须深入思考，欣赏页面上的文字或公式。我喜欢这样。”
主要图片：Illustrator096/Shutterstock和Peter Hermes Furian
工具书类
1.愤怒，E.L.我们是语言恐惧症的受害者吗？现代语言杂志 42, 20-22 (1958).
2.Ashcraft、M.H.&Moore、A.M.数学焦虑和表现中的情感下降。心理教育评估杂志 27, 197-205 (2009).
3.Richardson，F.C.&Suinn，R.M.数学焦虑评定量表：心理测量数据。咨询心理学杂志 19, 5510554 (1972).
4.A.E.福利。，等。数学焦虑与绩效挂钩“全球现象”。心理科学的当前方向 26, 52-58 (2017).
5.Reas，E.我们的大脑有一张数字地图。科学美国人(2014).
6.Xu，F.，Spelke，E.S.和Goddard，S.人类婴儿的数字感觉。发展科学 8, 88-101 (2005).
7.斯塔尔（Starr，A.）、利伯特斯（Libertus，M.E.）和布兰农（Brannon，E.M.），婴儿期的数字感觉可以预测儿童期的数学能力。美国国家科学院院刊 110, 18116-18120 (2013).
8.Park，J.&Brannon，E.M.训练近似数字系统可以提高数学能力。心理科学 24, 2013-2019 (2013).
9.莫雷尔，V。别开玩笑：鸽子在简单的数学考试中取得了优异成绩。Science.org（2011）。
10.Jaakkola，K.、Fellner，W.、Erb，L.、Rodriguez，M.和Guarino，E.对宽吻海豚数字“少”概念的理解(截形泥鳅).比较心理学杂志 119, 296-303 (2005).
11.Howard，S.R.、AvarguéS-Weber，A.、Garcia，J.E.、Greentree，A.D.和Dyer，A.G.蜜蜂零的数字排序。科学类 360, 1124-1126 (2018).
12.Pica，P.，Lemur，C.，Izard，V.，&Dehaene，S.亚马逊土著群体中的精确和近似算法。科学类 306, 499-503 (2004).
13.奈斯，J。，等。数学教育会修改近似数字系统吗？受教育和未受教育成年人的比较。神经科学和教育趋势 2, 13-22 (2013).
14.Allensworth，E.、Cashdollar，S.和Gwynne，J.通过围绕芝加哥共同核心州标准的专业学习，提高数学教学和学生成绩。AERA开放(2021). 从内政部检索：10.1177/2332858420986872
15.Boaler，J.&Zoido，美国的体育数学教育不算什么。科学美国人思维(2016).
16.Menon，V.Salience network.In Toga，A.W.（编辑）大脑绘图：百科全书参考，第2卷学术出版社，马萨诸塞州剑桥（2015）。
17.Boaler，J.、Chen，L.、Williams，C.和Cordero，M.视为理解：视觉数学对我们大脑和学习的重要性。应用与计算数学杂志 5(2016).
18.Ribeiro，S.&Santos，F.H.通过非乐器音乐训练，提高数学成绩低的儿童的数字认知能力。发育障碍研究 62, 26-39 (2017).
19.Ribeiro，S.&Santos，F.H.音乐训练对发育障碍儿童数学技能的持续影响。心理学前沿 10(2020).
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