一类Pellian方程

Question

我有一个关于佩林方程族的问题$$x^2-（k^2+1）y^2=k^2。\qquad（*）$$

对于整数$k\geq 2美元$，方程（*）至少有三类解以整数表示，对应于基本解$（x_0，y_0）=（k，0）$,$（k^2-k+1，k-1）$,$（k^2-k+1，-（k-1））$.每个基本解都通过以下方式归纳出一系列（类）解$$x+\sqrt｛k^2+1｝y=（x_0+\sqrt｛k^2+1｝y_0）（k+\sqrt｛k^2+1｝）^｛2m｝$$

对于的某些值千美元$，还有两个附加类解决方案的数量。例如，对于$k=2t^2$，我们还有基本的解决方案$（x_0，y_0）=（2t^3+t，\pm t）$和其他解决方案也适用于$k=4s^3-4s^2+3s-1$,对于$k=F_{2n}$和其他多项式或指数族。然而，我找不到任何这样的例子（*）有五类以上的解决方案。

所以，我想知道陈述这个推测是否有意义那是为了$k\geq 2美元$，方程式(*)总是有正好三到五类解决方案（例如3或5个基本解决方案）。是否有明显的理由说明应该（或不应该）（*）的基本解的个数是有界的绝对常数（独立于千美元$)?

很容易看出，每个基本解决方案$（x_0，y_0）$必须满足$|y_0|<k$所以推测实际上是这样的方程（*）至多有一个解0美元<y<k-1$.

这个问题与以下猜想有关：说不存在一组四个具有属性的正整数它们中任意两个的乘积都比平方大1（参见示例。Diophantine m-tuples页面第3.1节以及此处提供的参考）。

编辑（2.10.2022）：在Maohua Le和Anitha Srinivasan最近的论文中，这个猜想得到了验证$k=p^m q^n$，其中p，q美元$是不同的奇素数和百万美元$是正整数（请参见https://web.math.pmf.unizg.hr/glasnik/fortcoming/pGM7053.pdf).

Answer 1

哦，我想答案肯定是肯定的！


设${k\到x，y}$是$x^2-（k^2+1）y^2=k^2$的任意解，并且设$k$是$k$的集合，其解有$0<k<y-1$。在最近的一篇论文中提交给Glasnik Matematicki公司我们称之为这些解决方案例外解决方案。Andrej推测，对于任何$k$，最多有1个例外解决方案。

我们得到的一个有趣的结果是，如果$k\以k$表示，那么$y<（2-\sqrt{3}）k$。

佩尔方程的一个特殊特征是其对称性wrt$k$和$y$。这些是可互换的，因此对于任何解决方案$\｛k\ to x，y\｝$，都有相应的解决方案$\｛y\ to x，k\｝$。

因此，如果$k\neqy\pm{1}$，那么要么是k$中的$k\，要么是k#中的$y\。

现在，对于任何$k\geq2$，我们有三个特殊的解决方案类$（x_n，y_n）$$y_0={0，k-1，-（k-1）\}$。对于任何$n>\{0，0，1\}$，我们都有$y_n>k-1$因此$\｛y_n\到x_n，k\｝$是例外的，即k$中的$y_n\。

我们还需要考虑$k=1$，其中只有一个类的$（x0，y0）=（1，0）$，$（x1，y1）=（3，2）$，依此类推任何$n>1$我们都有$y_n\ K$。例如$（x_2，y_2）=（17，12）$来自我们得到了例外解${12\to 17，1\}$，以及以K$表示的$12\。

在本文中，我们将相应的异常解集称为“类型1”。但在这里，让我们简单地将集合$K_1$定义为所有这些对于任何$k>1$，我们从这3个类中找到的$y_n>k$，以及$k=1$的一个类。

所有类型1解决方案（即$\{k\to x，y\}$与k_1$中的$k\）共享的一个属性是$（y^2+1）|（x+y）$或$（y*2+1）/（x-y）$。

现在，对于k_1$中的任何$k，我们都有对应的${k\to x，y\}$我们的Pell eqn有两个额外的解决方案类，以及基本解决方案$（x_0，y_0）=（x，\pm y）$。对于任何$n>\{0,1\}$，我们都有$y_n>k-1$因此${y_n到x_n，k}$是异常的，即$y_n以k$表示。

当然，我们可以对这些新的$y_n应用相同的过程$无限大，每个$y_n$播种一片其他森林。例如，仅考虑每种情况下$n=1$，从${8到18，\pm{2}}，8\K_1$我们得到$\{546\to 4402,8\}$和$\{30\to 242,8\{$，所以$546,30\in K$，从${30\到242，\pm{8}$我们得到${28928\到868322242\}$$至3362,30$，因此$为28928112，单位为K$。

我们称这些为“类型2”解决方案，因此我们将$K_2$定义为$yn$就是这样找到的。这些不具有可分割性上面提到的是K_1$中的$y_n。

在论文中，我们展示了在此可以递归枚举异常解决方案时尚，即$K=K_1\杯K_2$。这是通过显示任何$k\ k$罐来完成的追溯到$K_1$中的根。

枚举算法如下。解决方案类被称为$0，-1，+1$，我希望它的解释是相当清楚的！

程序枚举K（_K）：

枚举_K1（1,0）

对于k=2到$\infty$

枚举_K1（k，0）
枚举K1（k，+1）
枚举K1（k，-1）

程序枚举K1（k，类）：

根据类设置$（x0，y0），（x1，y1）$
n1=如果（class=-1或k=1），则2其他1

对于n=n1到$\infty$

将$y_n$添加到$K_1$
枚举_K2（$y_n$，+1）
枚举_K2（$y_n$，-1）

程序枚举K2（k，类）：

根据类设置$（x0，y0），（x1，y1）$
n1=如果（类别=-1），则2其他1

对于n=n1到$\infty$

将$y_n$添加到$K_2$
枚举_K2（$y_n$，+1）
枚举_K2（$y_n$，-1）

为了在任何类中生成解决方案序列，我们注意到每个类都有相同的递归关系：

R=2k^2+1美元$
$x_n=2Rx_{n-1}-x_{n-2}$
$y_n=2Ry_{n-1}-y_{n-2}$

但当然有不同的初始条件：

$R=2k^2+1，S=2k，D=k^2+1$

$K_1，0类：（x_0，y_0）=（K，0），（x_1，y_1）=$
$K_1，类+：（x_0，y_0）=（K^2-K+1，K-1）$
$K_1，类-：（x_0，y_0）=（K^2-K+1,1-K）$
$K_2，类+：（x_0，y_0）=（x_n，+y_n）$对于K_1\杯K_2中的任何$y_n\$
$K_2，类-：（x_0，y_0）=（x_n，-y_n）$“”

并且在所有高于$（x_1，y_1）$的情况下满足

$x_1=Rx_0+DSy_0$
$y_1=Ry_0+Sx_0$

现在，如果安德烈的猜想是真的，而且我们相信它是真的的，那么每一个操作都是“添加$y_n$“总是在其列表中添加一个新的$y_n$$K_1和K_2$没有共同的元素。

的实现枚举（_K）找到救援参数当$k<10^6$时，我们有$|k_1|=882，|k_2|=163，|k|=1045$，以及枚举的每个$k$都是唯一的。这与安德烈的数字相符。

Answer 2

这是一个有趣的问题。让我解释一下为什么我认为答案是否定的。

改写公式$$（x-k）（x+k）=（k^2+1）y^2$$将其解释为多项式环${\mathbb Z}[k]$中的一个方程，并使用唯一因式分解，最终得到如下形式的方程$$x-k=（k^2+1）A^2，\四元x+k=B^2$$这意味着$$2k=B^2-（k^2+1）A^2$$解决方案$A=1$和$B=k+1$产生了您的一个。

为了能找到更多的基本解，你必须用$k=f（t）$代替多项式$f$，使$k^2+1$可约。最简单的选择是$k=2t^2$，因为$$k^2+1=4t^4+1=（2t^2+1）^2-4t^2=（2t ^2+2t+1）（2t~2t+1）$$在这种情况下，通过上面的游戏可以发现您的其他解决方案。

如果用$k=t+2t^3$代替（我希望我能很好地记住我的计算），多项式$k^2+1$会分裂成三个二次因子。由此产生的Pell型方程是否有更多的解很难检查。但我的印象是，你可以找到许多替代，其中$k^2+1$分裂成许多因素，很可能你得到超过2*2+1=5个基本解。当你需要诺姆的时候，他在哪里？

Answer 3

这个问题昨天引起了我的注意。我只想发布一些对，最小的134个值$k，$，其中有一个解$（1+k^2）（1+y^2）=1+x^2$与$y\leq k-2。$在$k$值中有许多序列。最简单的是整数$t的$k=2t^2$。$接下来是线性递归序列，$k\in\{8，30，112，418，1560，\ldots\}$，这样$k_{j+2}=4k_{j+1}-k_j，其中$y$是序列中的前一个元素。或者$k\in\{12，119，1178，11661，\ldots\}$，这样$k_{j+2}=10k_{j+1}-k_j，其中$y$是序列中的前一个元素。还有$k\in\{12，70，408，2378，ldots\}$，这样$k_j+2}=6k_{j+1}-k_j，其中$y=1.$，然后$k\in \{8，21，55，144，377\ldots$，这样$k_j=2}=3k_{j+1}-k，$是偶数斐波那契数，其中$y=2.$这些东西很多，如果其中任何两个重叠在某个巨大的$k$值上，就会得到反例。到目前为止，什么都没有，除了因子分解$k$或$k^2+1之外，还有其他东西可以抓住是件好事。我想大部分内容都包含在吉姆·怀特的工作中，我在马修斯的演讲中讨论了一种马尔可夫类型的树，我认为它实际上是关于三棵树的。是的，在马修斯的演讲中http://www.numbertheory.org/pdfs/dujella_slides.pdf我们将上述线性递归序列视为其中一棵树中的单个分支。与斐波那契数列中一半是增长最慢的分支一样马尔可夫树

总之，小$k：$

1 k:8 y:2 x:18 k^2+1=5 13 y^2+1=52k:12年：1 x:17k^2+1=529y^2+1=23k:18y:3x:57k^2+1=5^2 13y^2+1=2 54k:21年：2 x:47 k^2+1=2 13 17 y^2+1=55k:30年：8x:242 k^2+1=1753 y^2+1=5136千：32岁：4 x：132千^2+1=5^2 41岁^2+1=177千：50岁：5 x：255千^2+1=41 61岁^2+1=2 138千：55岁：2 x：123千^2+1=2 17 89岁^2+1=59 k:70 y：1 x：99 k^2+1=13 ^2 29 y ^2+1=210 k:72 y:6 x:438 k^2+1=5 17 61 y^2+1=3711千分之八十年：3倍：253千分之二+1=37 173千分之二+1=2512 k:98 y:7 x:693 k^2+1=5 17 113 y^2+1=2 5^213k:105年：18x:1893k^2+1=237149y^2+1=5^2 1314 k:112 y：30 x：3362 k ^2+1=5 13 193 y ^2+1=17 5315k:119 y:12 x:1433k^2+1=27397 y^2+1=52916 k:128 y:8 x:1032 k^2+1=5 29 113 y^2+1=5 1317千：144岁：2 x：322千^2+1=89 233千^2+1=518千：154年：3 x：487千^2+1=37 641年^2+1=2 519千：162年：9倍：1467千^2+1=5 29 181年^2+1=2 4120k:200年：10x:2010年k^2+1=13 17 181年^2+1=10121 k:203 y:4 x:837 k^2+1=2 5 13 317 y^2+1=1722k:208年：21 x:4373 k^2+1=5 17 509 y^2+1=2 13 1723 k:242 y：11 x：2673 k ^2+1=5 13 17 53 y ^2+1=2 6124岁：252岁：32岁：8068岁：k^2+1=5 13 977岁：2+1=5^2 4125k:288年：12x:3468k^2+1=553313年^2+1=52926 k:333 y:4 x:1373k^2+1=2 5 13 853 y^2+1=1727k:338年：13 x:4407k^2+1=57331y^2+1=251728公里：377年：2 x：843公里^2+1=2 5 61 233公里^2+1=529公里：392年：14公里：5502公里^2+1=573 421公里^2+1=19730千分之408年：1 x：577千分之2+1=5 13千分之2 197年^2+1=231千：414年：5 x：2111千^2+1=101 1697年^2+1=2 1332公里：418年：112 x：46818公里^2+1=5公里2 29 241公里^2+1=5 13 19333公里：450年：15倍：6765公里^2+1=13 37 421公里^2+1=2 11334 k:495 y:50 x:24755 k^2+1=2 101 1213 y^2+1=41 6135k:512y:16x:8208k^2+1=51337109 y^2+1=25736千：546年：8 x：4402千^2+1=241 1237年^2+1=5 1337公里：578年：17公里：9843公里^2+1=5 109 613公里^2+1=2 5 2938千：612年：105 x：64263千^2+1=5 173 433年^2+1=2 37 14939 k:616 y:5 x:3141 k^2+1=13 17^2 101 y^2+1=2 1340公里：648年：18公里：11682公里^2+1=5 137 613公里^2+1=5 ^2 1341千：684年：3 x：2163千^2+1=13 17 29 73年^2+1=2 542 k:697 y:12 x:8393 k^2+1=2 5 13 37 101 y^2+1=5 2943 k:722 y:19 x:13737 k^2+1=5 137 761 y^2+1=2 18144千：737年：6 x：4483千^2+1=2 5 29 1873年^2+1=3745千：800年：20倍：16020千^2+1=29千^2 761年^2+1=40146 k:858 y:72 x:61782 k^2+1=529 5077 y^2+1=5 17 6147 k：882 y：21 x：18543 k ^2+1=5^2 29 ^2 37 y ^2+1=2 13 1748公里：968年：22 x：21318公里^2+1=5^2 37 1013公里^2+1=59749千：987年：2 x：2207千^2+1=2 5 61 1597年^2+1=550千：1027年：6 x：6247千^2+1=2 5 29 3637年^2+1=3751千：1058年：23 x：24357千^2+1=5 13 17 1013年^2+1=2 5 5352 k:1152 y：24 x：27672 k ^2+1=5 13 17 1201 y ^2+1=57753公里：1178年：119 x：140187公里^2+1=5 13 37 577年^2+1=2 73 9754公里：1196年：7倍：8457公里^2+1=53 137 197公里^2+1=2 5^255千：1250年：25 x：31275千^2+1=1201 1301年^2+1=2 31356公里：1352年：26倍：35178公里^2+1=5 281 1301年^2+1=67757公里：1365年：98 x：133777公里^2+1=2 197 4729公里^2+1=5 17 11358岁：1428岁：55岁：78553岁：k^2+1=5617 661岁：2+1=2 17 8959公里：1458年：27倍：39393公里^2+1=5 17 89 281公里^2+1=2 5 7360千：1560年：418 x：652082千^2+1=17 37 53 73年^2+1=5 ^2 29 24161 k：1568 y：28 x：43932 k ^2+1=5^3 13 17 89 y ^2+1=5 15762公里：1590年：7倍：11243公里^2+1=41 197 313公里^2+1=2 5^263千：1682年：29 x：48807千^2+1=5 ^3 13 1741年^2+1=2 42164 k:1800 y:30 x:54030 k^2+1=1741 1861 y^2+1=17 5365岁：1815岁：8岁：14633岁^2+1=2 13 17 29 257岁^2+1=5 1366公里：1922年：31 x：59613公里^2+1=5 397 1861年^2+1=2 13 3767 k:1984年y:252 x:499972 k^2+1=13 29 53 197 y^2+1=5 13 97768千：2040年：128 x：261128千^2+1=257 16193千^2+1=5 29 11369 k:2048 y:32 x:65568 k^2+1=5 397 2113 y^2+1=5 ^2 4170k:2059年：208x:428277k^2+1=2 13 41^2 97年^2+1=5 17 50971 k:2077 y:80 x:166173 k^2+1=2 5 641 673 y^2+1=37 17372 k:2112 y:4 x:8708 k^2+1=5 17 97 541 y^2+1=1773 k:2178 y:33 x:71907 k^2+1=5 449 2113 y^2+1=2 5 10974 k:2312 y:34 x:78642 k^2+1=5 449 2381 y^2+1=13 8975 k:2329 y:8 x:18777 k^2+1=2 61 173 257 y^2+1=5 1376千：2378年：1 x：3363千^2+1=5 197 5741年^2+1=277 k:2450 y:35 x:85785 k^2+1=2381 2521 y^2+1=261378 k:2584 y:2 x:5778 k^2+1=37 113 1597 y^2+1=579 k:2592 y:36 x:93348 k^2+1=5 13 41 2521 y^2+1=129780千：2618年：9 x：23707千^2+1=5 ^2 13 21089年^2+1=2 4181千：2738年：37 x：101343千^2+1=5 13 29 41 97年^2+1=2 5 13782千：2888年：38 x：109782千^2+1=5 29 97 593年^2+1=5 17 ^283 k:2907 y:162 x:470943 k^2+1=2 5^2 13 13001 y^2+1=5 29 18184千：3038年：3 x：9607千^2+1=5 281 6569年^2+1=2 585 k:3042 y：39 x：118677 k ^2+1=5 593 3121 y ^2+1=2 76186 k:3200 y:40 x:128040 k^2+1=17 193 3121 y^2+1=160187千：3268年：9 x：29593千^2+1=5 ^2 13 17 1933年^2+1=2 4188 k:3362 y:41 x:137883 k^2+1=5 13 17 53 193 y^2+1=2 29^289 k:3528 y:42 x:148218 k^2+1=5 13 53 3613 y^2+1=5 35390 k:3567 y：612 x：2183007 k ^2+1=2 5 13 97 1009 y ^2+1=5 173 43391 k:3629 y:10 x:36471 k^2+1=2 401 16421 y^2+1=10192 k:3698 y:43 x:159057 k^2+1=5 757 3613 y^2+1=2 5^2 3793千分之3740年：21 x：78629千分之2+1=41^2 53 157年^2+1=2 13 1794 k:3872 y:44 x:170412 k^2+1=5 17 233 757 y^2+1=13 14995公里：3990年：200 x：798010公里^2+1=29 37^2 401公里^2+1=13 17 18196千：3999年：18 x：72093千^2+1=2 13 17 97 373年^2+1=5 ^2 1397千分之4050年：45倍：182295千分之2+1=17 41 101 233千分之2+1=2 101398公里：4059年：70 x：284159公里^2+1=2 17 173 2801年^2+1=13 ^2 2999 k:4232 y：46 x：194718 k ^2+1=5 ^2 41 101 173 y ^2+1=29 73100 k:4418 y:47 x:207693 k^2+1=5^2 173 4513 y^2+1=2 5 13 17101 k:4431 y:10 x:44531 k^2+1=2 401 24481 y^2+1=101102 k:4608 y:48 x:221232 k^2+1=5 941 4513 y^2+1=5 461103千：4802年：49 x：235347千^2+1=5 13 ^2 29 941年^2+1=2 1201104 k:4872 y:11 x:53813 k^2+1=597 109 449 y^2+1=2 61105 k:4900 y:495 x:2425505 k^2+1=17 353 4001 y^2+1=2 101 1213106千：5000年：50 x：250050千^2+1=13 ^2 29 5101年^2+1=41 61107 k:5100 y:5 x:26005 k^2+1=37 113 6221 y^2+1=2 13108 k:5202 y:51 x:265353 k^2+1=5 1061 5101 y^2+1=2 1301109 k:5313 y:242 x:1285757 k^2+1=2 5 97 29101 y^2+1=5 13 17 53110千：5408年：52 x：281268千^2+1=5 37 149 1061年^2+1=5 541111 k:5618 y:53 x:297807 k^2+1=5^2 37 149 229 y^2+1=2 5 281112 k:5822 y:1560 x:9082322 k^2+1=5 2017年3361 y^2+1=17 37 53 73113千分之5832年：54 x：314982千分之2+1=5^2 13 229 457年^2+1=2917114 k:5842 y:11 x:64527 k^2+1=5 13 97 5413 y^2+1=2 61115 k:5848 y:3 x:18493 k^2+1=5 101 241 281 y^2+1=2 5116千：6050年：55 x：332805千^2+1=13 61 101 457年^2+1=2 17 89117千：6272年：56 x：351288千^2+1=5 61 101 1277年^2+1=3137118 k:6371 y:12 x:76717 k^2+1=2 17 577 2069 y^2+1=5 29119 k:6498 y:57 x:370443 k^2+1=5 17 389 1277 y^2+1=2 5^3 13120千：6728年：58 x：390282千^2+1=5 17 37 ^2 389年^2+1=5 673121 k:6765 y:2 x:15127 k^2+1=2 13 37 113 421 y^2+1=5122 k:6900 y:288 x:1987212 k^2+1=109 577 757 y^2+1=5 53 313123 k：6962 y：59 x：410817 k ^2+1=5 37 ^2 73 97 y ^2+1=2 1741124 k:7200 y:60 x:432060 k^2+1=73 97 7321 y^2+1=13 277125 k:7442 y:61 x:454023 k^2+1=5 17 89 7321 y^2+1=2 1861126 k:7525 y:12 x:90613 k^2+1=2 577 49069 y^2+1=5 29127千：7688年：62 x：476718千^2+1=5 13 17 89 601年^2+1=5 769128 k：7697 y：154 x：1185363 k ^2+1=2 5 17 29 61 197 y ^2+1=37 641129千：7742年：8 x：62418千^2+1=5 877 13669年^2+1=5 13130千：7938年：63 x：500157千^2+1=5 13 601 1613年^2+1=2 5 397131千：8150年：13 x：106263千^2+1=41 677 2393年^2+1=2 5 17132 k:8192 y:64 x:524352 k^2+1=553 157 1613 y^2+1=17 241133千：8450年：65 x：549315千^2+1=53 157 8581年^2+1=2 2113134千：8712年：66 x：575058千^2+1=5 29 61 8581年^2+1=4357

Answer 4

我将用一些例子来说明枚举过程，以便清楚地说明上述结构。

我们从$k=1$开始，这是唯一一个使用单一解决方案类$（k，0）$的情况。我们有$k^2+1=2$和$k^2=1$。下面是$x^2-2y^2=1$的所有解的部分枚举：

n x y（n x y）0            1            01            3            22           17           123           99           704          577          4085         3363         2378

由于方程wrt$k$和$y$的对称性，我们知道$n>1$的每一对$（x_n，y_n）$都意味着${y_n到x_n、1}$是一个例外解。例如，我们可以看到$17^2-（12^2+1）.1^2=12^2$。显然，$1<1-1$，因此$k=12$有一个特殊的解决方案，因为它来自根类$（1，0）$的枚举，所以它是一个类型1的解决方案，因此我们将$12$添加到集合$k_1$中。

对于所有$k>1$，我们有3个根类，$（k，0）$、$（k^2-k+1，k-1）$和$（k*2-k+1、-k+1）$。$k=2$的部分枚举如下所示：

n x y（n x y）0            2            01 18 82          322          1443         5778         25844       103682        463685      1860498       832040


n x y（n x y）0            3            11           47           212          843          3773 15127 67654       271443       121393

n x y（n x y）0            3           -11            7            32          123           553         2207          9874        39603        177115       710647       317811

每个$y_n$，其中$n>0$（或第三类的$n>1$）提供了一个异常的解决方案${y_n\到x_n，2\}$，因此每个$y-n$都被添加到$K_1$。

现在，我们添加到$K_1$的每个值都是$\{K\to x，y\}$形式的例外解，因此对于$K_1$中的每个$K$，我们有一对额外的共轭解类$（x，\pm{y}）$。假设杜杰拉猜想是真的，那么这将永远是第四类和第五类。

我们只是以类似的方式枚举这些类，只是将新的$y_n$值添加到列表$K_2$中，因为它们来自K_1$中$K\的这些附加类，而不是来自3个根类。例如，以异常解决方案$\{18\to 8,2\}$为例，我们枚举了类$（8,2）$和类$（8，-2）$，其中$k=18$：

n x y（n x y）0            18           21          4402         5462       1135698      1408663     293005682    36342882


n x y（n x y）0            18          -21           242          302         62418        77423      16103602     1997406

同样，$n>0$的每一个$（x_n，y_n）$都给x_n，18\｝$一个新的异常解$\｛y_n\，因此我们将每个$y_n$添加到$K_2$。我们添加到$k_2$中的每一项$k$表示该$k$的两个新类，因此我们可以对每个类递归应用相同的过程。

我之所以将$K_1$和$K_2$保留为两个不同的列表，是因为$K_1$s的成员具有$K_2$s不共享的属性。上面提到的可除性是一个这样的性质，另一个是任何$k$的所有根类（我们从中导出$k_1$）都有显式的多项式描述，这有助于进行我们不能轻易应用于$k_2$的那种分析。

例如，我们可以（我相信）从这些多项式的属性推断出，每个操作“将$y_n$添加到$K_1$”都会提供一个唯一的值。对于$K_2$，我们是否能够证明同样的成立还有待观察。