整数上矩阵秩计算的复杂性

Question

计算整数矩阵的秩在输入的大小上是否具有复杂性多项式？

高斯消去算法在基本运算（加法和乘法）的数量上是多项式的，但矩阵项的中间大小可能会以指数形式增加。还有其他复杂度更好的算法吗？谁能提供推荐人？

Answer 1

高斯消去是多项式时间算法。虽然乍一看可能不太明显，但可以实现这样的方法，以便中间条目只有多项式大小（位长度），因为它们碰巧等于原始矩阵的某些子矩阵的行列式（或其比值，取决于版本）。参见示例。埃德蒙兹和Bareiss公司。

Answer 2

12年前，我在sci.math.num分析中提出了更多或更少的相同问题，但对于整数项较小的情况。托姆·穆德斯回答说这很棒的模块化方法。

编辑：上面的链接似乎已经死了，所以我在这里逐字回复

您可以使用模块化方法。当A是矩阵时，计算N的不同素数p是（A模p）的秩。当你使用素数的乘积足够大，则排名将等于排名的最大值你已经计算过了。具体来说。设A是n by m矩阵（n<=m），并且||A||是当r是A的秩时，A有一个r乘r的子矩阵Bdet（B）<>0。当素数的乘积Q超过det（B）时，必须至少是一个素数p，使得（B模p）的秩为r，因此（A模p）的秩为r。利用Hadamard的界，我们得到数据（B）<=r^{r/2}||A||^r<=n^{n/2}||A ||^n，所以你最多需要n个（logn）/2+log||A||）不同的素数。由于计算（A模p）的秩的复杂性为O（mn^2）（假设素数不太大，例如适合机器词）该算法是（直到一些对数因子）O（mn^3）。这比之前提出的分数自由算法的复杂度（O（mn^4））。您也可以使用上述的概率版本。至少取一组S2n（（logn）/2+log||A||）不同素数并计算（A模p）的秩对于来自S的不同随机素数。对于这样的随机素数，概率（A模p）的秩是A的秩至少是1/2。当你发现对于p的N个选择，秩没有增加，那么概率你已经找到了正确的等级至少是1-（1/2）^N。取N=20失效概率不到百万分之一。增加集合S提高成功的概率。

Answer 3

你的问题的答案是肯定的。注意，您可以用长度输入中的整数大小多项式来约束矩阵的行列式（事实上，您需要约束矩阵行跨越的格的大小）。假设$p$是一个素数，且大于这个界限，则整数矩阵的秩将等于矩阵mod$p$的秩。