正则局部环上商模的自由性

Question

让R美元$是具有极大理想的正则局部环百万美元$.让$t\单位：m\set减去m^2$.让亿美元$是有限生成自由的子模R美元$-模块百万美元$令人满意的$$tM\子项N\子项M$$

问题：如果亿美元$是免费的R美元$，是百万美元/个$也免费美元/吨$?

备注：以防万一$\mathrm{rank}（M）=1$.因为没有主要的理想1美元$令人满意的$（t）\subsetneq I \subetneq R$$

Answer 1

这里有一种可能的方式来看待这一点（这在很大程度上受到了朱的仿射格拉斯曼笔记中的一个论点的启发）。选择元素序列$t_1、t_2\ldots t_n$在里面$m\设置减去m^2$这样的话$（t=t_0，t_1，\ldots t_n）$是一个规则的参数序列。我们想证明这一点$Tor^i（M/N，R/（t_1，t_2，\ldots，t_N））=0$为所有人$i>0$.我们有一个简短的精确序列

$$0\到M/N\到M[t^{-1}]/N\到M[t^{-1-}]/M\到0$$

现在，我们有了本地化的规范标识$M[t^{-1}]=N[t^}-1}]$通过假设$tM\子集N$因此，通过上述简短的精确序列和亿美元$和百万美元$，我们简化为显示对应的更高Tor的消失$M[t^{-1}]/M\cong N[t^}-1}]/N\cong（R[t^<-1}]/R）^{\oplus rk（M）}$.

但是现在$R[t^{-1}]/R$是模块的过滤集合$t（美元）^{-n}右/R（右）$，它们是模块的迭代扩展R/（吨）美元$，其中所需的Tor消失是清楚的。

Answer 2

是的，因为它是正则局部环上的最大Cohen--Macaulay模。