有限幂集的存在性

Question

考虑删除功率集和无穷大并收集和$\英寸$-包括诱导。没有假定有序原则。

这个理论证明了吗X美元$，有一组X美元$?

Answer 1

答案是肯定的。

在你的理论中，让我们假设“有限”意味着与有限von Neumann序数相乘，其中这意味着一个传递集是有序的$\英寸$下面有一个最大的元素和无限的序数。

我们可以证明有限序数是有序的，因此归纳原理对它们有效。利用这个，我们可以证明每个有限集都有一个幂集，因为大小集的幂集美元+1$从大小的幂集中获得n美元$子集，通过向每个子集添加或不添加额外元素。

如果每个集合都是有限的，那么每个集合都有一个幂集，在这种情况下，这个幂集就是有限子集的集合。

否则，存在无限集X美元$.签署人$\英寸$-归纳，这个集合有一个序数秩，它不可能是有限的，因为通过归纳，每个有限秩集合都是有限的。所以$\欧米茄$存在。

现在通过归纳法证明n美元$，尺寸集合-n美元$的子集X美元$存在。这很容易适用于$n=0$。如果这是真的n美元$，然后我们可以证明这对美元+1$，因为尺寸美元+1$的子集X美元$由大小乘积的子集产生n美元$子集X美元$本身，以所有可能的方式添加一个额外的元素n美元$子集。（注意：产品是通过适当的集合实例存在的，以获得所有现有的部分，然后将它们组合在一起。）

最后，通过使用$\欧米茄$，我们可以收集所有尺寸的n美元$全有限上的子集族n美元$，并由此构造X美元$，根据需要。