这里的关键术语是:Wieferich prime base$a$。
你观察到的可以用以下形式呈现给孩子们:如果$p$是素数大于5小数$1/p$有小数点$d$,数字表显示$1/p^2$有小数段$dp$,$1/p^3$有十进制段$dp^2$,通常$1/p^k$的十进制段是$dp^{k-1}$。例如,1/13具有小数点6,1/169具有小数点$78=6\cdot 13$,1/2197具有小数点$1014=6\cd 13^2$。
这适用于100以下的素数,但如果你搜索得足够远,就会找到一个反例。第一个是$p=487$:1/487和$1/487^2$都有小数点486。第二个反例是$p=56598313$。(!!)此列表已被Sloaned:http://oeis.org/A045616.
有关此业务的一般文章,请参阅http://www.jstor.org/stable/3219294.
在代数数论中,当你计算${\mathbf Q}(\sqrt[n]{2})$的整数环时,就会出现这种现象,对于所有的$n\leq 1000$,它都是${\mathbf Z}[\sqrt[n]{2}]$。有了这些证据,你可能会猜测整数环总是${\mathbf Z}[\sqrt[n]{2}]$,就像${\mathbf Q}(\zeta_n)$的整数环总是${\mathbf Z}[\zeta_n]$一样。但事实上,这并不总是正确的。存在$n>1000$,因此${\mathbf Z}[\sqrt[n]{2}]$不是${\mathbf Q}(\sqrt[n]{2})$的整数的完整环。如果你搜索以2为基数的Wieferich素数,你就会找到它们。