$n的整数分区集上的双截$

Question

我在找自然的整数分块集的双射属于n美元$对自身而言。当然，我对自然的，但为了这个问题的目的是它出现在文学。

我目前知道有三大类bijections：

• Franklin-Glaisher双投影，它映射了可被划分的部分集%s美元$到至少出现的一组零件%s美元$时间，请参阅https://www.findstat.org/MapsDatabase/Mp00312对于美元=2$案例。

• 依赖于正有理数的对合族美元/秒$由于尼古拉斯·洛尔（Nicholas A.Loehr）。；格雷戈里·沃林顿。，与长度相等的分区统计连续族，J.Comb。理论，Ser。A 116，第2期，379-403（2009年）。ZBL1188.05012号这些对合可以组合起来获得，例如，将长度发送到分区的对角线反转数的双射，参见https://www.findstat.org/MapsDatabase/Mp00322。

• %s美元$-共轭，映射可被除的部分的数量%s美元$费雷尔图中具有腿长的单元格数$0$臂长等于1美元-1$国防部%s美元$，请参阅https://www.findstat.org/MapsDatabase/Mp00321对于美元=2$案例。请注意，对于美元=1$这就是简单的共轭。一般情况是目前与维也纳大学Arbeitsgemeinschaft Diskrete Mathematik其他成员的联合工作。

你还知道其他的吗自然的的所有整数分块集上的双射n美元$?

Answer 1

我正在将我的评论转换为答案。

让$\mathrm｛Par｝=\｛\lamba\colon\lambda\vdash n，n\geq 0\｝$表示所有整数分区的集合。你在寻找“自然”的事物$\varphi\colon\mathrm{Par}\to\mathrm{Par}$的确，这些似乎有些罕见。

更常见的是，我们有一个特定的子集$X\subseteq\mathrm{Par}$和一个双射$\varphi\colon X\到X$.*我将在下面讨论几个这样的示例。请注意，我们始终可以扩展这样一个美元\varphi$致所有$\mathrm{Par}$通过让它对不在X美元$，但这感觉有点“不自然”

下面是分区限制类的示例。

让美元$做一个大人物。拿X美元$成为一套美元$-常规分区（没有出现零件的美元$有一种称为“Mullineux对合”的对合，它可以纯组合地定义，但它也表示张量与符号表示的效果对称群的不可约表示S_n美元$结束$\mathbb美元{F} （p）$。请参阅https://doi.org/10.112/jlms/s2-20.1.60对于这个对合的原始定义。

让第1季度$，并让$X=Y_n$是一组分区，其船体（最小包含矩形）包含在楼梯隔墙中$（n-1，n-2，\ldot，1）$。请注意$\#Y_n=2^{n-1}$Suter定义了二面体群的作用$D_n$在百万美元$在里面https://doi.org/10.1006/eujc.2001.0541。这个动作的一个生成器只是共轭，但另一个是有趣的顺序n美元$双射。事实上，这种二面体群作用尊重了杨氏晶格哈斯图对$年_月$。

一个更基本的例子是，如果我们美元，美元\geq 1$然后让X美元$是包含在$a\倍b$矩形。然后我们可以考虑X美元$这里面的补语是什么$a\倍b$矩形。这种对合在对称函数理论、舒伯特演算等方面具有重要意义。

*也许更常见的是，我们有两个子集$X，Y\subseteq\mathrm{Par}$和一个双射$\varphi\colon X\到Y$但正如我们所看到的，双射的域和余域相同的情况已经有很多例子了。

Answer 2

卡拉·萨维奇(算法杂志10（1989）577-595）确定n美元$，上面有格雷码P（n）美元$如果一个部分增加1，另一个部分减少1（包括到0或从0开始），则相邻分区连接。这里有一些例子。

$$ 11111, 2111, 311, 221, 32, 41, 5 $$

$$ 111111, 21111, 3111, 2211, 222, 321, 33, 42, 411, 51, 6 $$

$$ 1111111, 211111, 31111, 22111, 2221, 322, 3211, 331, 43, 421, 4111,511, 52, 61, 7$$

路径总是从开始$1^n美元$结束于n美元$。通过将这两个分区连接成一个循环，可以将每个分区都变成一个双射。确定列表的过程有点复杂，但它肯定在文献中。

Answer 3

让$P_{DO}（n）$是的分区n美元$由不同的奇数部分组成。在数学StackExchange上，Marc van Leeuwen对$P（n）\设置减去P_{DO}（n）$确定具有偶数长度的集合中的分区的计数等于具有奇数长度的集合中的分区的计数。它可以扩展到上的双射P（n）美元$通过将隔板固定在$P_{DO}（n）$。

他的地图使用了比Glaisher更微妙的合并拆分操作；看见MSE帖子了解详细信息。这是上的信件P美元（5）$（此外$(5)$是固定的）。

$$5，\quad 41\longleftrightarrow 221，\quaid 32\longlertrightarrol 311，\quid 2111\longleftreghtarrows 11111$$

至于这是否“自然”：我和一位合作者正在一个项目中使用它，所以希望它很快就会出现在文献中。Van Leeuwen在电子邮件中告诉我，他还没有出版这本书，也没有意识到它已经出现在了文献中；在MSE的帖子中，他谦逊地称之为“运动等级”

Answer 4

这里有一类不同的例子。这些都是所有分区集合上的双投影，但它们是否“自然”取决于您

让美元\lambda$是一个分区。如果它的第一部分是$\lambda_1=b+1$它的长度是$\ell（\lambda）=a+1$，然后注意Young图中不在第一行或第一列的部分适合$a\倍b$矩形。因此，我们的想法是，我们可以在适合于$a\倍b$矩形，这给出了所有分区的双射。我们只需修复Young图的第一行/第一列，并将所需的双射应用于“内部”部分$a\倍b$矩形：例如共轭；而且，正如我在另一个答案中提到的，补语；还有一些不复归的双关语（想想rowmotion/promotion）。

如果您知道分区的Maya图表示，这类示例也可以描述为：我们修复了分区Maya图的第一个1和最后一个0，并对具有给定数量0和1的二进制字符串应用一些双射到第一个1与最后一个零之间的部分。二进制字符串上的这种双射自然是反转（=补码）、旋转（=提升）等。