我有一系列单变量分析函数，D美元（z）$，形成如下。
让L美元$,n美元$和$T_{0}$为正整数，$\varphi_{1}、\ldots、\varphi_{L}$是中的解析函数${\mathbb C}$,$p_{1}，\ldot，p_{L}$是多项式$｛\mathbb C｝\left[z_｛1｝，\ldots，z_｛n｝\right]$最多为总学位$T_{0}$,$\zeta_{1｝，\ldots，\zeta_{L｝$是的元素${\mathbb C}^{n}$和$\theta_{1}，\tots，\theta_{n}$是复数。
定义$$f_{\lambda}\左（z_{1}，\ldots，z_{n}\右）=p_{\λ}\左_{1} z（z）_{1} +\cdots+\theta{n}z{n}\right）。$$和$$D（z）=\det\left（f_{\lambda}\ left（\zeta_{\mu}z\right）\ right）_{1\leq\lambda，\mu\leq-L}。$$
在这里$\zeta_{\mu}z$是的标量乘法$\zeta_{\mu}$通过$z（美元）$.
这是M.Waldschmidt[1]第192-193页的注释，这是我能在我感兴趣的问题上找到的唯一结果（尽管我的问题比他的略简单，因为我没有他的$\delta_{\mu，\lambda}$在我的定义中D美元（z）$).
我正在寻找零重数的下限美元（z）$在$z=0$这取决于L美元$,n美元$和$T_{0}$什么时候第2季度$.尽管这样的结果对于$n=2$这本身将是一个很大的帮助。
如果$n=1$，则已知零重数必须至少为$L（L-1）/2$而这个值实际上是得到的。因此，对于$n\geq 2个$（但这也取决于n美元$和$T_｛0｝$)太棒了。
Waldschmidt在他的引理7.2中有这样一个下界，但我已经做了很多例子，似乎他的引理72可以改进。
有人对这些结果有任何参考吗？
或者对如何获得这样的改进结果提出建议？
那么一个简化的案例呢$\varphi{1}（z）=\cdots=\varphi_{L}（z）=\exp$?
这会使问题变得更容易吗？还是已经知道的事情？
参考
[1] 米歇尔·沃尔德施米特，线性代数群上的丢番图逼近。多变量指数函数的超越性（英语），Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，326，柏林：Springer Verlag，pp.xxiii+633（2000），ISBN:3-540-66785-7，MR1756786型,Zbl 0944.11024号.
