球面上函数的Sobolev嵌入定理

Question

$L^2（\mathbb{S}^{d-1}）$嵌入在中$H^{-s}（\mathbb{R}^d）$具有$s>\压裂{1}{2}$，这意味着L^2（\mathbb{S}^{d-1}）中的$f\$，如下所示：$$\DeclareMathOperator{\Dm}{\operatorname{d}\！}\int\limits_{\mathbb{R}^d}\bigg|\int\limits_{\mathbb{S}^{d-1}}f（\omega）e^{-2\piix\cdot\omega}\Dm\sigma（\omega）\bigg |^2\frac{\Dmx}{（1+|x|^2）（\欧米茄）$$

这是路易斯·维加文章[1]（第2页）中的一个引理。他给出了一些迂回的证据。直觉上，它可能有助于扩展$f美元$变成球面谐波。但我不知道傅里叶变换下球谐函数的精确行为。

请你提供一个球谐傅立叶变换的证明或给出一个明确的表达式好吗？

Willie Wong的另一个想法是使用傅里叶限制。由托马斯·斯坦因（Tomas-Stein），我们可以推断出结论$s>\压裂{d}{d+1}$.

参考

[1] Luis Vega，“薛定谔方程：指向初始数据的逐点收敛”（英文），《美国数学学会学报》102，第4期，874-878（1988），内政部10.2307/2047326,MR0934859,Zbl 0654.42014号.

Answer 1

正如Vega的文章中所提到的，这个语句是跟踪定理的一个特例，其中特别指出限制运算符，它将测试函数限制为紧致子流形$\欧米茄$余维的$1$，以为界$H^s（\mathbb{R}^d）$到$L^2（\Omega）$对于$s>1$引理是关于伴随算子有界性的一个声明。然而，我不知道在哪里可以找到以足够方便的形式证明跟踪定理的方法（限制为子流形，但使用傅里叶变换描述的Sobolev空间），这可能也是为什么Vega发现更容易给出完整证明的原因。

我还应该注意到，织女星论文的主要结果已经被https://annals.math.princeton.edu/2019/189-3/p04

Answer 2

这个不等式可以通过冷静的计算得到证明。我们可以假设$f美元$附近的支架$（0，\cdots，0,1）\in\mathbb｛S｝^｛d-1｝$.表示第一个d-1美元$的坐标$x\in\mathbb{R}^d$通过$x^{'}$.我们有
\开始{方程式*}\开始{split}（fd\sigma）^{\vee}（x^{'}，t）&=\int_{\mathbb{S}^{d-1}}f（\omega）e^{2\pii（x^}，t）\cdot\omega}d\sigma（\omega）\\&=\int_{{y^{'}\in\mathbb{R}^{d-1}:|y^{`}|^2\leq 1-c^2\}}f（y^{}，\sqrt{1-|y^}'}|^2}）e^{2\piix^{'{}\cdot y^{'}}e^{2\piit\sqrt{1-|y^[}|^2]}\frac{dy^{'{}{1\sqrt}1-|y^{'}|^2}}\\&=\mathscr{F}^{-1}\结束{拆分}\结束{方程式*}哪里$^{\vee}$是傅里叶逆变换$\mathbb{R}^d$和$\mathscr{F}^{-1}$在里面$\mathbb{R}^{d-1}$.然后是普朗彻，\开始{方程式}\开始{split}\int_{mathbb{R}^d}|\int_{mathbb{S}^{d-1}}f（\omega）e^{2\piix\cdot\omega}d\sigma（\omega）|^2\frac{dx}{{'}，t）\cdot\omega}d\sigma（\omega）|^2dx^{'}\frac{dt}{（1+|t|^2）^S}\\&=\int_{\mathbb{R}}\int_}\mathbb{R^{d-1}}|f（y^{'}，\sqrt{1-|y^{'}|^2}）\frac{e^{2\pi-it\sqrt{1-|y^}'}|^2}}{\sqrt{1-|y ^{'{|^2{}|^2Dy^{{'}}\\&=C_s\int_{\mathbb{s}^{d-1}}|f（\omega）|^2 d\sigma（\omega）\结束{拆分}\结束{方程式}