平滑的非等长纤维，在某一点上具有消失的Kodaira-Spencer映射

Question

这个问题是由阅读报纸引起的[1]特别是第737页的评论：

作为一个例子，考虑一个非等积光滑投影态射$f\冒号X\到Y$从光滑投影曲面到光滑曲面投影曲线。假设存在一个$y\年$这样Kodaira-Spencer地图$$\rho_{f，\，y}\冒号T_{y，\，y}\到H^1（X_y，\，T_{X_y}）$$为零。然后$\Omega_X|_{X_y}=\mathcal{O}（O）_｛X_y｝\ oplus\欧米茄{X_y}$，所以$\Omega_X|_{X_y}$不够。

从表面到曲线的光滑、非等长纤维称为Kodaira纤维（请参见[2]为了更好地介绍这一主题），通常的构造方法是取两条曲线乘积的适当分支覆盖。

现在，我不知道如何以满足Kodaira-Spencer地图上的上述条件的方式进行施工。在报纸上[3]科达伊拉通过局部计算表明，在他所有的原始示例中，科达伊拉·斯宾塞地图处处都是不消失的（第212-213页）。另一方面，我不知道有任何例子表明它在某一点上消失了（事实上，我也不知道还有任何其他的例子表明科达伊拉-斯宾塞（Kodaira-Spencer）图已经被明确计算出来了）。

所以让我问一下

问题。非等积光滑投影态射的例子有哪些$f\冒号X\到Y$从平滑投影曲面到平滑投影曲线，使Kodaira-Spencer地图在一些$y\年$?

参考文献。

[1] 凯莉·贾布什,余切丛的正性密歇根州数学。J.58，第3期，723-744（2009年）。ZBL1186.14037号.

[2] 法布里奇奥·卡塔内塞,Kodaira纤维及其以外：模量理论方法，Jpn。数学杂志。（3） 12，编号2，91-174（2017）。ZBL1410.14010型.

[3] Kodaira、Kunihiko,一类不规则代数曲面，J.分析。数学。19, 207-215 (1967).ZBL0172.37901号.

Answer 1

光滑、非等长纤维的任何分支碱基变化都应给出一个例子。

您可以使用Kodaira spencer地图的各种特征之一进行简单证明：https://en.wikipedia.org/wiki/Kodaira%E2%80%93Spencer_map#In_scheme_theory

也就是说，如果$f:X\到Y$是曲线上的平滑纤维Y美元$然后是Kodaira spencer地图$\operatorname{Spec}k=y\以y表示$通过限制获得$f美元$达到一级增稠$\上划线{f}:\mathfrak{X}（X）_{y} \to\operatorname{Spec}k[\varepsilon]$属于美元$并考虑相关的微分序列$$0\到\上划线{f}^*\Omega_{k[\varepsilon]/k}\到\Omega{mathfrak{十} 是（_y）}\到\Omega_{\mathfrak{十} 是（_y）/k[\varepsilon]}\到0$$通过态射的光滑性，这个序列是精确的，最后一个非零项作为$\mathcal美元{O}（O）_{\mathfrak（马特拉克）{十} 是（_y）}$-模块。特别是，当您限制使用减少的光纤时，顺序保持准确X美元$通过微分的基变换性质，可以得到一个精确的序列$$0\到f^*T_{Y，Y}^{vee}\到\Omega_{mathfrak{X} y（_y）}|_{X_y}\到\Omega_{X_y}\到0$$

中的关联元素$T_{Y，Y}^{\vee}\otimes\operatorname{Ext}^1（\Omega_{X_Y}，\mathcal{O} _X（X）)$相当于地图的数据$T_{Y，Y}\到H^1（X_Y，T_{X_Y}）$这是Kodaira spencer地图。

现在如果$h:Y'\到Y$是在以下位置分支的光滑曲线的同态$y'\以y'表示$这样的话$h（y'）=y$，我们得到一个图表$$\开始{array}{ccc}\mathfrak{X}（X）_{y'}&\右箭头&\mathfrak{十} 是（_y） \\\向下箭头&&\向下箭头\\\操作员姓名{规格}k[\varepsilon]&\rightarrow&\operatorname{规格}k[\varepsilon]\end{数组}$$其中下水平映射由代数上的对偶映射给出$\varepsilon\mapsto 0$.根据微分的函数性，我们得到了精确序列的一个态射$$\begin{array}{ccccccc}0&\rightarrow&f_y^*T_{y，y}^{vee}&\right arrow＆\Omega_{mathfrak{十} 是（_y）}|_{X_y}和\右箭头和\欧米茄{X_y}和\rightarrow&0\\&&\downarrow&&\向下箭头&&\下箭头&&\\0&\右箭头&h^*f_{y'}^*T_{y'，y'}^{\vee}&\rightarrow＆\Omega_{\mathfrak{十} 是（_y）}|_{X_y}和\右箭头和\欧米茄{X_y}和\右箭头和0\结束{数组}$$这里，第一张垂直图是$小时$当我们有分支时，它消失了，而最后一个垂直图是身份。最后，我们得到了Kodaira-Spencer映射的交换图$$\开始{数组}{ccc}T_{Y'，Y'}&\右箭头&H^1（X_{Y'}，T_{X_Y'}}）\\\向下箭头&&\向下箭头\\T_{Y，Y}&\向右箭头&H^1（X_Y，T_{X_Y}）\结束{数组}$$其中第一个垂直映射为零，而最后一个垂直映射为同构。这意味着上部水平图为零。