引力平方反比定律产生无进动周期轨道的深层次原因是什么？

Question

给定一个球对称势$V:{\bf R}^d\到{\bv R}$远离原点，可以考虑牛顿运动方程$$\frac{d^2}{dt^2}x=-（\nabla V）（x）$$对于粒子$x:{\bf R}\到{\bf-R}^d$在这个潜在的井里。在球对称假设下，角动量守恒（根据诺特定理或开普勒第二定律），使用该守恒可以进行“辛约化”，并将动力学简化为径向变量的自主二阶常微分方程$r=|x|$作为角度变量的函数$\θ$; 参见示例https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem#解决方案_of_the_Kepler_problem一般来说（假设吸引势和能量不太大），此ODE的能量曲面是闭合曲线，这导致径向变量美元$以周期方式取决于角度变量$\θ$，前提是从单位圆中提升角度变量${\bf R}/2\pi{\bf-Z}$到通用盖${\bf R}$.

在平方反比定律的特殊情况下$V（x）=-\frac{GM}{|x|}$，原来地图的周期$\theta\mapstor$始终等于2美元\pi$，这意味着在这种情况下，轨道是闭合曲线${\bf R}^d$（而对于几乎所有其他势，除了二次势$V（x）=c|x|^2$，轨道出现进动）。事实上，正如牛顿（用一种稍有不同的方法）所著名的那样，这些计算最终恢复了开普勒第一定律，即平方反比定律下的轨道是椭圆，原点只有一个焦点。

计算并不太困难-基本上是通过应用转换$u=1/r美元$人们可以将上述ODE转换为谐振子的移位版本，但对我来说，它们似乎相当“神奇”。我（相当模糊）的问题是，是否有一个“高层”（例如辛几何）解释了平方反比定律的这种现象，给出了无进动的周期轨道。例如，在二次势的情况下，相空间具有复曲面簇的结构${\bf C}^d$（明显的动作美元（1）^d$)和哈密顿量$\压裂{1}{2}|\dot x|^2+\压裂{c}{2{|x|^2$只是矩映射的一个线性分量，所以在这种情况下，轨道的周期性可以看作是一般双曲面簇行为的一个特例。但在平方反比的情况下，我没有看到类似的辛几何解释，因为我在这里找不到明显的辛环面作用（很大程度上是因为轨道的周期根据开普勒第三定律随轨道而变化）。进动的缺失只是一个“巧合”吗？还是还有其他的原因？例如，是否存在将动力学转换为透明地揭示周期性的正规形式的正则变换（类似于作用角变量如何揭示复曲面变体上的动力学）？

Answer 1

引力势或库仑势具有“隐藏”对称性（隐藏在它不遵循旋转对称的意义上）。运动的积分（Runge-Lenz矢量)防止经典力学中的空间填充轨道（所有轨道都是闭合的），并在量子力学中引入能级简并（能级不依赖于方位量子数）。

隐藏的对称性将旋转对称群从三维提升到四维，从而从so（3）提升到so（4）。SO（4）对称性在四维动量空间中的几何解释见第234页李群、物理和几何罗伯特·吉尔摩。从历史上看，这种解释可以追溯到年的V.FockZur Wasserstoffatoms理论[Z.Phys.98，145-154（1935）]。坐标的椭圆运动对应于动量的圆周运动。圆圈$\mathbb{R}^3$在中提升为圆圈$\mathbb{R}^4$通过投影变换。SO（4）转换$\mathbb{R}^4$将圆圈旋转成圆圈，然后向下投射到物理空间中的圆形动量轨迹$\mathbb{R}^3$.

你可能知道行星以椭圆轨道围绕太阳运行。但是你知道为什么吗？事实上，它们在四维空间中绕着圆圈运动。但当这些圆被投影到三维空间时变成省略号！
_{[约翰·贝兹，动画由格雷格·伊根.]}

Answer 2

有：

• Bertrand定理，该定理表示各向同性振子和开普勒势是唯一的解析径向振子，它们的非相关有界轨道都是闭合的。（建议：Albouy-关于双体问题的讲座但他说：“这个定理的证明对这种现象提供了很少的“解释”。”

• Levi-Civita–Kustaanheimo–Stiefel变换，将开普勒问题映射到受约束的高维各向同性振荡器中。（建议：科尔达尼-开普勒问题.)

编辑：最终，我认为每个人都正确地说$\粉碎{\dfrac{d\mathbfv}{dt}=-\dfrac{k\mathbfr}{r^3}}$（其中$r=\|\mathbf r\|$)是守恒$\mathbf L=\mathbf-r\times\mathbf-v$ 和（“楞次”）偏心矢量$$\mathbf e=\frac{\mathbf L\times\mathbfv}k+\frac}\mathbfr}r。\标签1$$确实如此$\mathbf r美元$满足系统要求：$\langle\mathbf L，\mathbf-r\rangle=0$和$\langle\mathbf e，\mathbf-r\rangle=r-L^2/k$正如Albouy强调的那样，高斯首选形式平面二次曲线（分支）方程的$\粉碎{\mathbf L^\perp}$，焦点在原点，偏心$e=\|\mathbf e\|$和半阔肌直肠$L^2/k美元$因此，如果有界，则闭合（椭圆）。

一旦被告知$\mathbf e美元$，正在检查$d\mathbf e/dt=0$很容易。但是认为它应该存在是另一回事，而且（既然你在评论中问了）我不会拒绝复制这种美妙的方式拉格朗日在1779年做到了首先，他计算了美元$以获得^一（众所周知）$$\压裂{dr}{dt}=\frac{langle\mathbf r，mathbf v\rangle}r，\qquad\quad\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{L^2}{r^3}-\frack{r^2}。\标签2$$然后他“非常巧妙”地设置$s=r-L^2/k$，问候美元$作为的已知函数$t（美元）$，并观察到由于$(2)$,美元$然后满足相同的二阶线性方程$$\压裂{d^2s}{dt^2}=-\压裂{ks}{r^3}\标签3$$那个$x，y，z$也被认为是令人满意的。因此它是它们的线性组合，即有一个固定向量$\mathbf e美元$这样的话$s=\langle\mathbf e，\mathbf-r\rangle$总是。很快从那个^b条得到$(1)$，拉格朗日在其中写道1781.

备注：1。标准故事属于$\mathbf e美元$省略拉格朗日。^c（c）

2 偏心率矢量是汉密尔顿的术语(1846第349页），由Temple等复兴(1931，第页。114)。（这封信$\textbf e（美元）$也可以代表埃尔曼诺，这是雅各布·赫尔曼在1710年使用的名字。）

三。第二个方程式$(2)$在莱布尼茨(1689第91页）；例如Guicciardini(1999，第152页）称其为“第一个应用于行星运动的已发表微分方程”

4关于Bertrand定理，Wintner(1941第420页）给出了一个可能与您相关的隐晦评论：“问题的拓扑性质（参见§215），或者，等价地，问题与存在一个大的附加积分（参见§238之二）之间的联系通常没有实现”。

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^{a。$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1r\dfrac d{dt}\dfrac{langle\mathbf r，\mathbfr\rangle}2=\dfras{langle\ mathbf r，\mathbf v\rangle}r$然后（两次使用这个，一次使用运动方程）$$\压裂{d^2r}{dt^2}=\frac d{dt}\frac{langle\mathbf r，\mathbfv\rangle}r=\frac{r\dfrac d{dt}\langle\mathbf r，\mathbfv\rangle-\langle\fathbf r=\frac{r\left\{\|\mathbfv\|^2+\left\langle\mathbf r，\dfrac{d\mathbfv}{dt}\right\rangle\right\}-\dfrac{\langle\ mathbfr，\mathbf-v\rangle^2}{r}}{r^2}=\frac{\|\mathbf r \|^2 \|\mathbf v \|^2-\langle\mathbfr，\mathbf-v\rangle^2}{r^3}-\frac k{r^2}。$$b.确实，根据定义$s=r-\dfrac{\langle\mathbf L，\mathbf-L\rangle}k=\left\langle\dfrac{\mathbf r}r，\mathbfr \right\rangle-\dfrac{\langle\mathbf L，\mathbf-r\times\mathbf-v\rangle}{k}=\left\langle\dfrac{\mathbf r}r+\dfrac{\mathbf L\times\mathbfv}k，\mathbf-r\right\rangle$，所以$(1)$做这个把戏。}

^{c.总结（欢迎更正）：
发现年份（重新）：|拒绝：|首次引用（伦茨之后）：1710赫尔曼(第465页)（c/b，0）1976作者：Volk(第368页)  1710伯努利(第523页)（c，h）1976作者：Volk(第372页)  1779拉格朗日(第83页)（f，g）2002阿尔布伊（第99页）  1781拉格朗日(第206页)（北、中、左）1998作者：Gutzwiller（第613页） 1799拉普拉斯(第160页) (λ,γ)1941由Wintner提供(第422页)  1799拉普拉斯(第163页)（f，f'，f''）1959Stumpf著(第94页)  1842年雅各比(第21页) (β,γ)1941由Wintner提供(第422页)  1845年汉密尔顿(等式13)ε 1948作者：Milne(第237页)  1901年吉布斯(第135页)电子我 1971作者：McIntosh(第二章)  1919年伦格(第70页) 𝖆1924作者：Lenz(第198页)  1924伦茨(第198页)𝕬1926保利（第345页）}

Answer 3

这里是使用对称约简的解释，但没有明确使用Lenz-Runge向量（它本质上是Cushman&Bates“经典可积系统的全局方面”第75页中给出的示例的扩展版本）。

让$Q=\mathbb{R}^3$是配置空间（忽略原点处的正则化问题），并让$P=T^*Q=\mathbb{R}^6$是相空间。当我们假设势仅取决于半径时，哈密顿量为O美元（3）$不变量。相应的守恒量是角动量$J（q，p）=q乘以p$，我们在那里确定$\mathbb{R}^3$用李代数O美元（3）$.让$S^2_L\subseteq\mathbb{R}^3$是具有半径的球体L美元$如上所述，哈密顿量是O美元（3）$-不变，从而下降到轨道缩小的空间$$J^{-1}（S^2_L）/O（3）$$为了识别这个缩小的空间，可以方便地使用另一个对称。小组$SL（2，\mathbb{R}）$作用于P美元$并有动量图$$K（q，p）=（x，y，z）=\大（-q\cdot p，\frac{q^2}{2}-\frac}p^2}}{2{，\frac{q^2]{2}+\ frac{p^2{2}\Big）\在\mathbb{R}^3中$$作为O美元（3）$-和$SL（2，\mathbb{R}）$-作用形成对偶，共伴轨道对应意味着O美元（3）$-动作对应于$SL（2，\mathbb{R}）$（在本例中，使用以下公式可以很容易地看出这一点：J美元$和千美元$)。图中唯一的共伴轨道千美元$椭圆轨道、抛物线轨道和零。最后两个对我们来说并不有趣（它们对应于消失的角动量）。这个$SL（2，\mathbb{R}）$-绕点运行$（0，0，L）$是上双曲线$z^2-y^2-x^2=L^2$并且被标识为缩小的空间$J^{-1}（S^2_L）/O（3）$哈密顿量在约化相空间上下降为哈密顿数，由下式给出$$H（x，y，z）=\frac{z-y}{2}+V（\sqrt{z+y}）$$那么你的问题就相当于询问一个潜在的V美元$这样水平集的交点$H^{-1}（E）$上双曲线是一条闭合曲线。我对最后一个问题没有明确的答案，但我猜想唯一可能的势是谐振子和开普勒势。

这种方法还表明，所有这些势都必须有一个对称群G美元$那是一个美元（1）$-的扩展O美元（3）$。然后，上述缩减对应于分阶段缩减，您首先将O美元（3）$-对称性，并留有美元（1）$-简化相空间上的对称性。

Answer 4

两体引力问题（“开普勒问题”）的作用角变量在天体力学界得到了广泛的应用。这些被称为“Delaunay变量”，使相空间的复曲面结构明显。参见示例：Chang和Marsden-Delaunay变量和几何相位的几何推导(CiteSeer公司 出版 MSN（MSN）)进行现代治疗。注意，本文提供了一个规范变换。

Answer 5

隐藏对称有一些令人惊讶的方面——伯特兰定理联系。第一个令人惊讶的是，Runge-Lenz矢量似乎起源于相对论（！）：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/037596016891339X（J.P.Dahl对Runge-Lenz矢量的物理解释）。第二个令人惊讶的是，Runge-Lenz-like向量确实存在，并且可以定义为所有具有旋转对称的系统，特别是具有开放轨道的中心对称系统：https://arxiv.org/abs/1005.1817（一般旋转对称系统中的拉普拉斯-龙格-伦茨对称，Uri Ben-Ya'acov著）。

也许是艾森哈特电梯（例如，见，https://arxiv.org/abs/1503.07802)可以为Bertrand定理提供更多的启示：https://arxiv.org/abs/1701.05783（三维曲线空间上的超可积系统：艾森哈特形式主义和可分性，J.F.Cariñena、F.J.Herranz和M.F.Rañada著）。