关于正连续函数序列的无穷远散度集

Question

你好，

我问过这个问题math.堆栈交换但它并没有受到太多关注，所以我在这里问它。

这个问题的部分原因是一，其中包含$\mathbb{R}$上正连续函数序列$（f_n）$的示例$$f_n（x）\rightarrow\infty（右箭头）$$当且仅当$x\in\mathbb{Q}$。

我的问题如下：

对于给定的$\mathbb{R}$上的正连续函数序列$（f_n）$，用$S（（f.n））$表示到$\infty$的散度集：

$$S（（f_n））：=\{x\in\mathbb{R}:f_n（x）\rightarrow\infty\}$$

对于某个序列$（f_n）$，给定的集合$S$是$S（（f.n））$的充要条件是吗？

正如math.stackexchange的评论中所指出的，一个必要条件是$S$必须是$F_｛\sigma｝$的可计数区间……但这足够吗？

谢谢您，马利克

Answer 1

集合为$F_｛\sigma\delta｝$的条件是充要条件。这是哈恩在1919年证明的结果。参考是H.Hahn，Ueber die Menge der Konvergenzpunkte einer Funktitionenfolge，尤伯·戴·门格尔，阿尔奇夫。数学博士。《与物理学》28（1919），34-45。

Answer 2

除了迈克尔·雷纳迪（Michael Renardy）的参考之外，西尔宾斯基（Sierpinski）在1921年给出了另一个证明（可能是独立获得的？）。

西尔宾斯基。继续进行统一套件功能的汇聚点表面。（法语）[J] 基础数学。2, 41-49 (1921).ZMath链接

（它的优点是：（a）它是法语的，所以我可以真正理解它；（b）它发表在一份期刊上，现在提供[我认为]对旧文章的开放访问；人们可以通过以下方式获得副本在此处搜索.)

本文中的主要定理说明如下（所有集合都是$\mathbb{R}$的子集）：

定理对于集$E$是连续函数序列$f_1，f_2，\ldots$的收敛点集（意味着$f_n（x）$收敛当且仅当E$中的$x\收敛），$E$为$f_{\sigma\delta}是必要且充分的$

证明通过一系列引理进行。

引理1任何$F_\sigma$都可以分解为一个没有内部点的$F_\sigma$的和，我们称之为$P$，它具有最多可数的相互不相交区间集合，其端点都出现在$P$中。

引理2不包含内点的$F_\sigma$可以写成最多可数个不相交闭集的和。

综合上述收益

引理3$F_\sigma$可以写成$P\cup Q$的并集，其中$P$可以写为互不相交闭集的最大可数并集，$Q$可以写作端点位于$P$的互不相交区间的最大可计数并集。

鉴于上述情况，我们已经

引理4对于$E$和$F_\sigma$，存在一系列有界连续函数，它们在$E$上收敛到0，否则不收敛。

施工示意图:

如上所述，写出$E=P\cup Q$。写入$P=F_1\cup F_2\cdots$，其中$F_i$相互不相交。设$S_n=\cup_1^n F_i$。假设$\delta_n=\mathrm{dist}（S_n，F_{n+1}）>0$，因为我们有不相交的闭集。设$T_n={x:\mathrm{dist}（S_n，x）\geq\delta_n/（3+n\delta_n）\}$。

定义函数$\varphi_n（x）$的序列，以便对于$n$odd，$\varfi_n\equiv 0$。对于$n=2k$偶数，让$\varphi_n（x）=1$在$T_k$上，$0$在$S_k$上并在两者之间进行线性插值（我们可以这样做，因为$T_k\cup S_k$是闭的，它的补码是开区间的并集）。

现在将$f_n（x）$定义为等于$\varphi_n（x）$的$Q$内部补码。剩下的部分又是开放区间的并集，因此我们可以在其上线性插值。

很明显，根据定义，$f_n$在$E$上收敛到0。需要一点计算才能表明，对于E$中的$x\not，$\limsup f_n（x）=\limsup\varphi_n（x）=1$。

定理的构造示意图

现在让$E=E_1\cap E_2\cap\cdots$，其中$E_k$是$F_\sigma$。让$\波浪号{f}_{k，n}（x）$表示通过将引理4应用于$E_k$而找到的序列。让$\bar{f}_{k，n}（x）=\分数{1}{k}\波浪线{f}_{k，n}$。我们在定理中想要的序列可以通过对角线方法得到：

$$f_1=\bar{f}_{1,1}\四f2=\bar{f}_{2,1}\四f3=\bar{f}_{1,2}\四f_4=\bar{f}_{3,1}\ldot（点）$$

Answer 3

下面是关于这个主题的一些附加评论。

Sierpinski的1921年论文是在不了解哈恩1919年论文的情况下写成的，当时（第一次世界大战结束）信息和期刊的流动是断断续续和/或暂时中断的。

汉斯·哈恩（Hans Hahn）第二卷第348页收集的作品（1996）包括了对哈恩1919年论文的评论：

“…哈恩设身处地在Funktitioninfole中使用Menge der Konvergenzpunkte找出该属性是否给出了此类集合的完整特征的任务。他不仅证明了这一点，而且通过发现任意给定Baire类函数的收敛集的特征，开始了对Baire函数的研究。

例如，Jolanta Wesolowska已经发布了Hahn/Sierpinski对属于各种其他函数类的函数序列的结果的版本关于一些实函数序列的收敛点集（MR 2001d:26003；Zbl 1035.26006号)以及关于拟连续函数序列确定的集（MR 2002i:26002；Zbl 1002.26004号)以及实函数序列的离散收敛点集（MR 2005f:26010；Zbl 1070.26005号). 顺便说一句，当她第一次向她直接研究小组之外的人介绍她的工作（由上面的第一篇论文代表）时，我在场[1]（这是她的工作2000年博士论文在Uniwersytet Gdanéski），这在与会人员中引起了一阵小骚动，他们发现她正在处理的问题以前没有彻底解决过，这简直令人惊讶。（我应该指出，关于实函数和点集理论的文献几乎处处充斥着你能想象到的大多数细节，等等。）

[1] 她于2000年5月26日在真实分析夏季研讨会二十四在北德克萨斯大学（德克萨斯州丹顿）举行。

（第二天）昨天我忘了用英语发表几篇参考文献来证明哈恩/西尔宾斯基的结果。可以在1978年第三版英文版的307-308页上找到证据（大概在其他任何英文版的同一页上），1935年的第三版Hausdorff的集合论[1957年（MR 19111a；Zbl 81.04601号); 1962年（MR 25#4999）；1978 (Zbl 488.04001号); 1991 (Zbl 896.04001号); 2005年]和Kechris'第185-186页经典描述性集合理论【MR 96e:03057；Zbl 819.04002号].