高斯CDF与PDF比值的近似

Question

Johnstone和Silverman（2005）声称，对于大x

$\frac{1-\Phi（x）}{\Phi（x）{\approx\frac{1}{x}$

其中$\Phi（x）$和$\Phi（x）美元是正常随机变量的CDF和PDF。

我能够从数字上核实索赔。Q： 但我该如何进行分析呢？这看起来应该很容易，但我想不出来。还有，Q：是否有一个符号逻辑系统（例如Mathematica）可以生成这种近似？

Answer 1

如果你把这解释为极限的存在$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x（1-\Phi（x））}{\Phi（x）}$$然后很容易使用l'Hopital规则进行验证。

Answer 2

在枫叶：

使用（统计）：Phi:=CDF（正常（0,1），x）：Phi:=PDF（正常（0.1,x）：异步（（1-Phi）/Phi，x，10）；

$\压裂{1}{x}-\压裂{1'{x^3}+\压裂{3}{x^5}-\裂缝{15}{x*7}+\裂缝{105}{x|9}+O\左（\压裂{1\{x^11}}\右）$

另请参见http://oeis.org/A001147对于系数序列

Answer 3

如果$Y（x）=（1-\Phi（x））/\Phi（x）$，则很容易检查$Y'（x）=xY（x）-1$，并根据此检查标准方法执行任何您喜欢的操作。

Answer 4

复制经典Feller书中的引理，首先我们可以写

$$（1-3x^{-4}）\phi（x）<\phi。$$

将其从$x$集成到$+\infty$，我们得到

$（x）美元^{-1}-x^{-3}）φ（x）<1-\phi（x）<x^{-1}\phi（x）$$

所以很容易得到近似速率$x^{-3}\phi（x）$。

Answer 5

分段积分的连续应用很容易得到所述结果。我们知道这一点$$1-\Phi（x）=\Phi^c（x）=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{infty}e^{-t^2/2}dt。$$要应用分部积分，将被积函数乘以$\压裂{1}{t}$以获得$$\Phi^c（x）=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{infty}\frac}{t}\left（te^{-t^2/2}\right）dt$$括号中所示的术语可以进行整合以获得$-e^{-t^2/2}$因此，积分简化为$$\Phi^c（x）=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ frac{e^{-x^2/2}}{x}-\frac}1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}\ frac{e^}-t^2/2{{t^2}}。$$现在我们知道了

• $\phi（x）=\frac｛1｝｛\sqrt｛2\pi｝｝e^｛-x^2/2｝$而且
• 右侧的积分项总是大于0，即，$$\压裂{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t^2/2}}{t^2}\geq0。$$

因此，结合这些观察结果，我们发现$$\Phi^c（x）\leq\frac{\Phi（x）}{x}$$或者换句话说，$$\frac｛1-\Phi（x）｝｛\Phi（x）｝\leq\frac｛1｝｛x｝$$

现在，您可以继续在$\Phi^c（x）$以获得下限。更具体地说，我们获得$$\Phi^c（x）=\Phi（x）\left（\frac{1}{x}-\frac}1}{x^3}\right）+\int_{x}^{infty}3t^{-4}e^{-t^2/2}dt。$$同样，右侧的积分为正，因此，$$\φ（x）\左（\frac{1}{x}-\frac[1}{x^3}\右）\leq\phi^c（x）。$$结合这两个不等式，我们发现$\压裂{1}{x}-o（x^{-1}）\leq\压裂{\Phi^c（x）}{\Phi（x）{\leq\frac{1}{x}$换句话说，$$\压裂{\Phi^c（x）}{\Phi（x）{\approx\frac{1}{x}$$在的渐近极限x美元$.

事实证明，更多的分部积分应用导致了一个交替的包络级数。更多细节可以从Christopher G Small的教科书中获取，统计的扩张和渐近《统计学和应用概率专著》115。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，ISBN 978-1-58488-590-0/hbk；978-1-4200-1102-9/电子书，第xiv+343页（2010），2681183万令吉,Zbl 1196.62002号，应该可以在线获取。