排列示例$\mathbb{Z} G公司允许非同构置换基的$-模？

Question

众所周知，对于有限群G美元$和字段千美元$特征0的线性化态射$B（G）至Rk（G）$在大多数情况下具有非平凡的核，这可用于查找允许非同构置换基（asG美元$-套）。我希望找到一个相对容易陈述的例子，但这次，对于置换$\mathbb{Z}G$-而不是模块。

不幸的是，所有我编造的例子$\mathbb｛Q｝$尚未扩展到$\mathbb{Z}$考虑到克鲁尔·施米特（Krull-Schmidt）不支持$\mathbb美元{Z} G公司$总的来说，我几乎可以肯定这种置换模块的例子是存在的——有人有这种现象的例子吗？

Answer 1

在上也提出了类似的问题math.堆栈交换几年前，我发布了以下答案。我刚刚又看了一下Conlon的论文，恐怕它在显式示例方面有点不足。

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本文中有一些因Conlon而产生的相当普遍的例子：

Conlon，S.B.公司。,积分相似下的单项式表示《代数杂志》13，496-508（1969）。ZBL0185.06702号.

斯科特甚至举了一个过渡性的例子：

伦纳德·L·斯科特。，置换表示的积分等价，Sehgal，Surinder（ed.）等人，群论。1992年5月14日至16日，俄亥俄州格兰维尔（美国），第21届两年一度的俄亥俄州立大学数学会议记录。新加坡：世界科学。262-274 (1993).2004年8月28日.

在这个例子中，G美元$是$\text{PSL}（2,29）$置换作用在两个非共轭子群的陪集上，它们都同构于交替群A_5美元$.

Answer 2

这段话太长了，无法发表评论，但并不是对这个问题的真正回答。反正很有趣，所以我把这个留在这里。

作为记录，Geordie提到的示例是Swan模块P美元$对于$\mathbb美元{Z} 问题_8$由生成$3$和N美元$在正则表示中，其中N美元$是组元素的总和。这是一个秩为1的非自由投影模块，它生成$\tilde K_0（\mathbb{Z} 问题_8)\聪\mathbb{Z}/2$.我们有$P\oplus P\cong\mathbb{Z} 问题_8\oplus\mathbb{Z} 问题_8$。据我所见，这并没有生成所请求类型的示例，但它确实生成了一个置换模块，其中的置换基以一种有趣的方式是不相等的。也就是说，如果我们让百万美元$是四份副本的直接总和$\mathbb美元{Z} 问题_8$然后四个副本的三个对中的每一个都给出了一个同构，其四个副本之和为P美元$.将其中一个与另一个的逆组合会产生不等价的置换基百万美元$.

但杰里米的回答更好！