如果矩阵$A$的谱半径小于$1$，如何构造一个正定$Q$，使$Q-A^{H} 质量保证$也是正定的吗？

Question

证明存在正定矩阵相对容易Q美元$这样的话Q-A美元^{H} 质量保证$是正定的，其中$A^{H}$表示的共轭转置美元$，然后是光谱半径美元$小于$1$.只需查看每个特征对$（v，\lambda）$。但对于相反的问题，我想知道如何构造一个Q美元$这样的话Q-A美元^{H} 质量保证$是正定的，当美元$小于$1$?

Answer 1

我将遵循评论中的建议，并将我的评论作为答案发布：

取你最喜欢的正定矩阵P美元$并定义$Q:=\sum_{k=0}^\infty（A^{\operatorname{H}}）^kPA^k$; 注意，这个级数收敛于，因为美元$是$<1$，存在数字$\增量\英寸[0,1）$和百万美元\ge 1$这样的话$\|A^k\|\le M\delta^k美元$对于所有整数$k\ge 0美元$.矩阵Q美元$是正定的并且满足$Q−A^{\操作员姓名{H}}QA=P$.

评论：

• 上述结果和证明在系统和控制理论中都是标准的；例如，见本书第3.3.5节数学系统理论。I.建模、状态空间分析、稳定性和鲁棒性（2005）Hinrichsen和Pritchard(zbMATH链接).

• 同样的论点也适用于无限维希尔伯特空间上的有界线性算子。