有限同调维环的K-投射性

Question

让R美元$是Noetherian交换环美元$-模块$P^{\bullet}$如果对任何非循环复数是K-投射的$A^{\bullet}$，阿贝尔群的复数$Hom（P^{\bullet}，A^{\bullet}）$是非循环的。K投射络合物由Spaltenstein定义：

http://www.numdam.org/article/CM_1988__65_2_121_0.pdf。

假设现在R美元$具有有限的同调维数。我听说它说射影模的复合体（可能是无限的）$P^\项目符号$是K-投影的。对此或证明是否有参考（最好是基本的）？

Answer 1

里面有一个漂亮的简短证明

列奥尼德·波西塞尔斯基；Olaf M.Schnürer。，大小模的无限派生范畴：自然函子完全忠实吗？，J.纯应用。《代数225》，第11期，文章编号106722，23页（2021）。ZBL1464.18015号。

其中这是4.1（b）号提案。

假设R美元$具有全局维度$d<\infty$.让$P^\项目符号$是一个射影复合体，让$\alpha:P_K^\bullet\到P^\ bullet$成为千美元$-投影分辨率。为了证明这一点$P^\项目符号$是千美元$-投射，这足以证明$\阿尔法$是同伦等价，或者等价于$\阿尔法$是可收缩的。

所以我们只需要证明射影的无环复合体是可压缩的。

让$Q^\项目符号$是投射物的非循环复合体。然后是截断$$\点\到Q^{-2}\到Q${-1}\到Q^0\到0\点$$是某个模块的投影分辨率，该模块最多具有投影维数d美元$通过对R美元$因此，差速器的图像$Q^{-d}\到Q^{-d+1}$是投射的。

将相同的参数应用于的移位$Q^\项目符号$，的每个微分$Q^\项目符号$具有投影图像$Q^\项目符号$是非循环的）意味着$Q^\项目符号$是可收缩的。