绑定$GL（3）$对称正方形

Question

让美元\pi$是的自守表示$GL（3）$在数字字段上。让$a_n$是的系数$L（s，\pi，\mathrm{sym}^2）$.我们知道如果

$$\sum_｛n>0｝\frac｛|a_n|｝｛n^s｝$$

和

$$\sum_{n>0}\frac{left（\sum__{k\midn}|a_k|\right）^2}{n^s}$$

收敛于$\回复>1$? 甚至为了$\Re（s）>1+\增量$对于一个相当小的美元\ delta$？

这基本上等于说系数平均不变。Rankin-Selberg地产似乎以Gelbart-Jacquet升降机而闻名，但非Gelbart-GJacquet电梯是否已知或至少预期如此？

Answer 1

让美元\pi$是的尖顶自守表示$\mathrm美元{总账}_ m$具有统一的中心字符。武田的工作表明（未分类的部分）L美元$-功能$L（s，\pi，\mathrm{Sym}^2）$是全形的$\mathrm{Re}>1-\frac{1}{2m}$.采取$m=3$，我们发现您的第一个级数收敛于$\mathrm{Re}>1$。

第二个系列显然有点棘手，但我们可以在特殊情况下做到这一点美元\pi$是自我双重的。在这种情况下，美元\pi$是尖点自守表示的对称平方提升的Hecke字符扭曲$\pi'$在$\mathrm（美元）{德国}_2$假设（目前）$\pi=\mathrm{Sym}^2\pi'$和美元\pi$具有级别1（因此$\pi'$非二面体）。然后$\mathrm｛Sym｝^2\pi=1\boxplus\mathrm｛Sym｝^4\pi'$，在这种情况下

$L（s，\pi，\mathrm{Sym}^2）=\zeta_F（s）L（s），\mathrm{Sym}^4\pi'）$。

请注意$\mathrm{Sym}^4\pi'$是的尖顶自守表示$\mathrm（美元）{德国}_5$.因此$\Pi=1\boxplus\mathrm{Sym}^4\Pi'$是的自守表示$\mathrm美元{GL}_6$、和L美元$-功能

$L（s，\Pi\times\tilde{\Pi}）=\zeta_F（s）L（s），\mathrm{Sym}^4\Pi'）^2 L（s、\mathrm{Sym{^4\π'\times\mathrm}^4]）$

绝对收敛于$\mathrm{Re}>1$. Then美元$-th迪里克莱系数$\lambda_{\Pi\times\波浪线{\Pi}}（n）$以下边界为$|a_n|^2$Dirichlet卷积计算表明，如果$s>1$，则级数的上界为

$L（s，\Pi\ times\tilde{\Pi}）\zeta_F（s）^2$

（或者可能需要用更高的幂替换2？）$\mathrm{Re}>1$。

武田，水一郎，（\mathrm{GL}（r））的扭对称平方（L）-函数，杜克数学。J.163，第1期，175-266（2014）。ZBL1316.11037号。