$\mathbb的Brauer组{Z}（Z）_｛（p）｝$

Question

这可能是一个众所周知的结果，但我在标准参考文献中找不到它。什么是局部环的Brauer群$\mathbb美元{Z}（Z）_｛（p）｝$（位于的整数环美元$)?

Answer 1

引理。 让千美元$是整数环的数字域$\mathcal O_K（_K）$，并让$S\substeq\ Omega_K^f美元$是一组有限的位置千美元$那么就有一个规范的短精确序列 $$0\to\operatorname{Br}（\mathcal O_{K，S}）\to\bigoplus{v\\in\S\\cup\\Omega_K^\infty}\operator name{Br{（K_v）\stackrel{operatorname{inv}}\longrightarrow\mathbf Q/\mathbfZ$$ 其最终地图是满射的，如果$S\neq\varnothing（美元）$.

在这里$\数学O_｛K，S｝$表示$\mathcal O_K（_K）$ 远离美元$（当美元$是有限子集），这意味着$\operatorname{Spec}\mathcal O_{K，S}$是$\Omega_K^f\set减去S$.

你的结果就是这样$S=\欧米茄_K^f\setminus\｛p\｝$另一个极端是$S=\varnothing$，最多用于数字字段1美元$真实位置（例如。$K=\mathbf Q$，或任何完全虚构的场）表明$\operatorname{Br}（\mathcal O_K）=0$.

证明。对于$S=\Omega_K^f$，这是阿尔伯特-布劳尔-哈塞-诺特定理。此外，还有一个简短的精确序列$$0\to\mathbf G_m\toj_*\mathbf-G_m\to\bigoplus_{v\in\Omega_K^f\setminus S}i_{v，*}\mathbfZ\to0\tag{1}\label{1}$$在埃塔尔遗址上$\mathcal O_{K，S}$，其中$j\colon\operatorname{Spec}K\hookrightarrow\operator名称{Spec}\mathcal O_{K，S}$包含通用点，以及$i_v\colon\operatorname{Spec}\kappa（v）\hookrightarrow\operator名称{Spec}\mathcal O_{K，S}$闭合点的包含$v（美元）$.自$i_v（_v）$是有限的，向前推进$i_{v，*}$是准确的，所以$$H^i\big（\运算符名称｛Spec｝\mathcal O_｛K，S｝，i_｛v，*｝\mathbf Z\big）=H^i\big（\ kappa（v），\mathbf Z\big）=\ begin｛cases｝\mathbf Z&i=0，\\0&i=1，\\mathbf Q/\mathbf Z&i=2，\\0&i>2。\结束{cases}$$写入$K_{（\barv）}^{\operatorname{sh}}$对于严格Henselisation的分数域$\mathcal O_{K，\bar v}^{\operatorname{sh}}$属于$\mathcal O_K（_K）$在几何点$\bar v\to\operatorname{Spec}\mathcal O_{K，S}$（括号$（\bar v）$更清楚地将其与完成区分开来$千伏$). 然后是$R^ij_*\mathbf G_m$在美元\bar v$是$H^i（K_｛（v）｝^｛\operatorname｛sh｝｝｝，\mathbf G_m）$，消失了$i>0$根据朗定理的一个版本（根据米尔恩[Milne，示例III.2.22（b）]，这个版本在[Shatz]中的某个地方）。我们的结论是$R^ij_*\mathbf G_m=0$对于$i>0$因此$$H^i（\operatorname{Spec}\mathcal O_{K，S}，j_*\mathbf G_m）=H^i$$为所有人1美元$。由于上同调与直和交换，\eqref{1}给出了一个精确的序列$$0\到H^2（\operatorname{Spec}\mathcal O_{K，S}，\mathbf G_m）\到H#2$$其中最后一个映射是通常的不变映射。因此$\mathcal O_{K，S}$根据以下结果千美元$，因为我们得到了$\bigoplus_{v\in\Omega_K}\operatorname{Br}（K_v）$它的坐标$v\in\Omega_K^f\set减去S$消失。美元\平方$

\eqref{2}的口号是$\operatorname{Br}（\mathcal O_{K，S}）$由以下元素组成$\运算符名称｛Br｝（K）$在所有封闭点都不受影响$\operatorname{Spec}\mathcal O_{K，S}$。这应该是删除除数时的一般原则。

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参考文献。

[Milne]J.S.Milne，Étale上同调。普林斯顿数学系列33普林斯顿大学出版社，1980年。ZBL0433.14012号.

[Shatz]S.S.Shatz，Profinite组、算术和几何《数学研究年鉴》67普林斯顿大学出版社，1972年。ZBL0236.12002号,jstor公司.

Answer 2

从另一个角度来看，有一个确切的序列

$$0\到Br（\mathbb Z_{（p$$

其中右侧的映射是由位于的分支（也称为Hasse不变量）给出的美元$（类似于更一般的全球领域）。

我想说的是，这是萨尔特曼关于除法代数的讲座，因为它本质上是定理10.3。不幸的是，这只是在Brauer类的阶是剩余特征的素数的情况下才这样做。Saltman这样做是因为对于更一般的领域，在$p，p美元$案例。

另一方面，唯一使用这种方法的地方是在完成时存在Brauer类的未分类分割字段。在局部字段上可以找到，例如，在Serre的局部字段，第12章。因此，事实上，萨尔特曼书中的论点大体上适用于声场案例。