$\mathbb是什么{Z} _2定向格拉斯曼人的$上同调？

Question

让$\运算符名称{Gr}（k，n）$和$\运算符名称{Gr}^+（k，n）$分别表示无定向和定向的格拉斯曼人。

这个$\mathbb美元{Z} _2$无向grassmannian的上同调是

$$H^*（\operatorname{Gr}（k，n）；\马特布{Z} _2)\cong\mathbb{Z} _2[w_1（\gamma），\dots，w_k（\garma）]/（\overline{w}_{n-k+1}，\点，\上划线{w} _n（n）)$$

哪里$\伽马$是同义词捆绑，$\deg\上一行{w} _ i=i$和$\overline｛w｝=1+\overline{w} _1个+\点+\上划线{w} _n（n）$满足$w（\gamma）\上划线{w}=1$.

我的印象是1美元<k美元<n-1美元$，的$\mathbb美元{Z} _2$定向grassmannian的上同调

$$H^*（\operatorname{Gr}^+（k，n）；\马特布{Z} _2)\cong\mathbb{Z} _2[w_2（\gamma），\dots，w_k（\garma）]/（上划线{w}_{n-k+1}，\点，\上划线{w} _n（n）)$$

但这是错误的，可以通过考虑$\operatorname{Gr}^+（2，4）=S^2\乘以S^2$.

1. 是什么$H^*（\operatorname{Gr}^+（k，n）；\马特布{Z} _2)$? 它可以用$w_i（\gamma）$?

我真正想知道的是以下问题的答案（这可能比第一个问题更容易回答）：

2. 什么时候$w_i（\gamma）\以H^*（\operatorname{Gr}^+（k，n）；\马特布{Z} _2)$非零？

Answer 1

我惊讶地得知$H^*（{\rm Gr}^+（k，n）；\马特布{Z} _2)$总的来说，似乎是未知的。案例中的环形结构$k=2美元$在中给出

科尔巴什、朱利乌斯；托马斯·鲁辛,关于$\mathbb Z_2美元$-定向Grassmann流形的上同调代数，伦德。循环。巴勒莫材料（2）65，编号3，507-517（2016）。ZBL1357.57065号,

和最近的预印本https://arxiv.org/abs/1712.00284Basu和Chakraborty在本案中给出了部分结果$k=3$.

主要工具似乎是双盖的Gysin序列$\pi:｛\rm Gr｝^+（k，n）\到｛\rm Gr｝（k，n）$，其中（省略$\mathbb美元{Z} _2$系数）看起来像$$\cdots\到H^i（{\rm Gr}（k，n））\stackrel{\cup w_1}{\到}H^{i+1}$$并暗示$w_i（\gamma）$在中为非零$H^i（{\rm Gr}^+（k，n））$当且仅当它不在由$w_1（\gamma）$但我想确定这一点并不总是那么简单。至少从上述来源来看$w_2美元$当$k=2美元$而且$w_2美元$和$w_3$当$k=3$.

Answer 2

这是对第二个问题的部分回答。

在这个问题上，我打算$\伽马$表示重言丛$\运算符名称{Gr}^+（k，n）$而在马克·格兰特的回答中，他使用了$\伽马$表示重言丛$\运算符名称{Gr}（k，n）$.为了让事情绝对清楚，让$\伽马^+$表示重言式捆绑$\运算符名称{Gr}^+（k，n）$而不是。作为$\pi^*\gamma\cong\gamma^+$，其中$\pi:\operatorname{Gr}^+（k，n）\to\operator名称{Gr}（k，n）$是天然双层，我们看到了$w_i（\gamma^+）=w_i$非零当且仅当$w_i（\gamma）$不是由生成的理想$w_1（\gamma）$.

作为理想$（上一行{w}_{n-k+1}，\点，\上划线{w} _n（n）)$至少由度元素生成$n-k+1$，元素$w{i_1}（\gamma）\点w{i_t}（\ gamma$具有$i_1+\点+i_t\leq n-k$都是独立的。特别是，对于$1<i\leq\min\{k，n-k\}$,$w_i（\gamma）$不属于由$w_1（\gamma）$因此$w_i（\gamma^+）\neq 0$因此，如果$k\leq n-k$，然后$w_2（\gamma^+），\dots，w_k（\gama^+）\in H^*（\operatorname{Gr}^+（k，n）；\马特布{Z} _2)$都是非零的。

这解释了马克·格兰特（Mark Grant）答案末尾的观察结果：$w_2（\gamma ^+）$在中为非零$H^*（\operatorname{Gr}^+（2，n）；\马特布{Z} _2)$对于$n\geq第4季度$、和$w_2（\gamma^+），w_3（\gama^+）$在中为非零$H^*（\operatorname{Gr}^+（3，n）；\马特布{Z} _2)$对于$n\geq 6美元$; 此外，$w_2（\gamma ^+）$在中为非零$H^*（\operatorname{Gr}^+（3，5）；\马特布{Z} _2)$.