隐函数定理通常有助于得出这样的结论。在您的示例中，您将（微分方程）转换为函数空间上的运算符。$$E\冒号W^{1,2}（0，T）\乘以L^2（0，T）\到L^2$$具有$$E（x，u）=ax+f（x）+u-\点x$$（人们也可以用不同的方法来设置它，例如直接使用杜哈迈尔公式，但原理保持不变。）然后，微分方程满足于x美元$用于参数$u（美元）$在$（0，T）$为了你想要的规律$E（x，u）=0$.
然后你展示一下E美元$是连续可微的，并且对于给定的$（\bar x，\bar u）$，线性（！）运算符$\partial_x E（\bar x，\bar u）$是连续可逆的。（中的偏导数$（\bar x，\bar u）$然后将成为$\mathcal L（W^{1,2}（0，T）；L^2（0，T））$其对应于原始非线性方程的线性化方程。）
从这里，IFT告诉你如果你有一双W^{1,2}（0，T）中的$（\bar x，\bar u）乘以L^2（0，T）$满足微分方程，所以$E（\bar x，\bar u）=0$，那么就存在开放式社区 $U_{\bar x}$属于美元\bar x$在里面$W^{1,2}（0，T）$和$U_{\bar U}$属于美元\bar u$在里面$L^2（0，T）$与隐式函数一起使用$\varphi\colon U_{\bar U}\到U_{\bar x}$这样的话$E（\varphi（u），u）=0$为所有人$u\在u_{\bar u}中$（事实上$（\varphi（u），u）$是社区中唯一的对来验证这一点。）
剩下的唯一事情就是确定确实存在解决方案W^{1,2}（0，T）中的$\bar x$对应于L^2（0，T）中的$\bar u$ 完全（通常这里的第一个候选人是$u\equiv0$.）然后，上述推理为您提供了开式集合 $U_{\bar U}$围绕美元\bar u$这样每一个$u\在u_｛\bar u｝中$有一个独特的解决方案$x_u:=\varphi（u）$在$（0，T）$你的方程式。
当然，这套$U_{\bar U}$包括一个球$B_{R_\ast}（\bar u）$围绕美元\bar u$在里面$L^2（0，T）$对于$R_\最新$足够小。反过来，如果你碰巧知道$u\单位：百万$对于某些集合百万美元$产生解决方案$x_u$在$（0，T）$然后你就有了开放的社区$单位（_U）$对于每个$u\单位：百万$这样的解决方案$x_v（美元）$关联到$v\单位为U_U$在上再次存在$（0，T）$因此，$$U_{M}:=\bigcup_{U\在M}U_U中$$是一个包含百万美元$其元素都会导致$（0，T）$.
一般来说，在给定的情况下，要得到的结果是，参数/控制集$u（美元）$生成解决方案$x_u$在给定的时间间隔内打开（事实上，IFT还告诉您解决方案映射 美元\varphi$是连续可微的，这可能也很有趣。）
该技术推广到演化方程设置。
我对巴纳赫太空IFT的标准参考是谢尔盖·朗的书，这是第十四章，Thm。2.1. （参见下面的引文。）该技术通常用于显示解运算符（此处美元\varphi$)在最优控制问题是连续可微的，以便应用一阶最优性条件来描述最优控制问题的解，因此我还为此添加了两个参考文献（Tröltzsch和Hinze/Pinnau/Ulbrich/Ulbich的书）。（虽然这些书是关于PDE的最佳控制的，但我就是从那里来的，所以……）
谢尔盖·朗、实际和功能分析。，数学研究生课文。142.纽约：Springer-Verlag。xiv，580页（1993年）。ZBL0831.46001号.
Fredi Tröltzsch，偏微分方程的最优控制。理论、程序和应用。，威斯巴登：Vieweg（ISBN 3-528-03224-3）。x、 297页。（2005年）。ZBL1142.49001号.
Hinze，M。；皮诺，R。；Ulbrich，M。；乌尔布里奇，S。，基于PDE约束的优化《数学建模：理论与应用》23。多德雷赫特：施普林格（ISBN 978-1-4020-8838-4/hbk；978-1-4020-8839-1/电子书）。xi，270页。(2009).ZBL1167.49001号.
