计算极限$n\rightarrow\infty$中的反链。

Question

通过Dedekind数字函数，让我们表示函数$M:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb2{N}$，它通过断言$M（N）$是$\mathcal{P}（X）$中存在的反链数给出，其中$X$是基数$N$的任意集。由此可见$$2^n<M（n）<2^{2^n}$$对于所有$n\geq 1$。

问：。做任意一个实数

$$\lambda_0=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n}{M（n）}\qquad\lambda_1=\lim{n\riftarrow\finfty{\frac}{2^{2^n}}$$

与零不同？

• 如果是的话，这个数字有已知的显式表达式吗？

• 如果不是，它的近似值是多少？

我觉得$\lambda_0$可能等于$0$，所以我对$\lampda_1$更感兴趣。

Answer 1

OEIS序列A000372号以及那里的参考文献。特别是，它表示$M（n）$的渐近性在A.D.Korshunov，单调布尔函数的个数，Problemy Kibernet。第38期，（1981），5-108，272。MR0640855（83小时：06013）（我没有看过）。

EDIT:链接http://www.mathpages.com/home/kmath094.htm引用科尔舒诺夫（Korshunov）的结果，即使是$n$：

$$M（n）\sim 2^{C（n）}\exp\左（C（n）\左（2^{-n/2}+n^22^{-n-5}-n2^{-n-4}\右）\右）$$

其中，$C（n）$是中间二项式系数${n\choose n/2}$，$C（n）${n\ choose 1+n/2}$。现在我得到$$\eqalign{C（n）&\approx\sqrt{\dfrac{2}{\pin}}2^n\crc（n）2^{-n/2}&\applox\sqart{2}}{n\pi}}2~{n/2}}$$

这导致$\lambda_1=\lambda_2=0$。