Fubini-Study指标/形式

Question

我正在寻找一种方法来推导Fubini-Study指标$\Bbb商业票据^n$和相应的Kähler形式，但我找不到合适的推导方法。在大多数参考资料中，我发现他们只是说Kähler形式定义为$$\omega_{FS}=i\partial\bar{\partial}\log\|s\|^2$$对于节%s美元$或者类似的东西

$$\ω{FS}={\frac{i}{2}}\部分{\bar{\partial}}\log|\mathbf{Z}|^{2}$$

就像维基百科一样。这些东西是怎么产生的？它们看起来很神秘？

Answer 1

$\newcommand\C{\mathbb{C}}$下面是一个简短的解释，但您需要填写所有细节：首先，表示\开始{align*}\π：\ C^｛n+1｝\反斜杠\｛0\｝&\右箭头\ C P^ n\\Z&\mapsto[Z]\结束{align*}以及每个$Z\in\C^{n+1}\反斜杠\{0\}$，让$$\pi_Z:T_Z\C^{n+1}\右箭头T_{[Z]}\C P^n$$是美元\pi$在$Z$。

首先，观察给定的任何指标$克$在$\C^{n+1}\反斜杠\{0\}$，限制$\pi_Z$,$$\pi_Z:T^\perp_Z\右箭头T_{[Z]}\C P^n，$$哪里$T^\perp_Z\子集T_Z\C^{n+1}$子空间与$\pi^{-1}（[Z]）$是一个同构。所以我们的想法是定义一个指标$\帽子{g}$在$\C^{n+1}\反斜杠\{0\}$它在通过复数标量进行缩放时保持不变，并在上定义度量$T_{[Z]}\C零件$成为$\帽子{g}$限制为$T^\perp_Z$。

欧几里德度量$dZ | ^2$在$\C^{n+1}\反斜杠\{0\}$在缩放下不是不变的。然而，指标$$\压裂{|dZ|^2}{|Z|^2]$$是。此度量限制为$T^\perp_Z$并向前推进$T_{[z]}\C P ^n$是Fubini-Study指标。

Answer 2

我发现缩小一点有帮助V美元$是维数至少为1的复向量空间，并设P（V）美元$是其中直线的投影空间。我们有平凡向量空间$V\至P（V）$和同义反复的线束$\mathcal O（-1）\子集V$。这些符合短而精确的顺序$$0\至\mathcal O（-1）到V\到V/mathcal O（-1）\到0。$$现在选择一款Hermitian内部产品$小时$在V美元$。这定义了平凡束上的平坦厄米度量V美元$，从而限制了线束上的厄米度量。根据Codazzi-Griffiths方程，该度量具有负曲率，其负曲率为Fubini-Study度量。

如果您选择V美元$以及标准的内部产品，这将解包为维基百科和其他地方的无动机定义。