这是众所周知的那个$|g_1 g_2|=|g_1||g_2|$无论何时g_1美元$和g_2美元$是通勤具有的组的元素$\gcd（|g_1|，|g_2|）=1$因此，例如，$\gcd（|g_1|，|g_2|）=1$总是暗示着$|g_1 g_2|=|g_1||g_2|$在阿贝尔群中。
我对分类感兴趣有限的，有限的当我们放弃必须通勤的假设时，上述条件适用于每对元素的组。更准确地说，我的问题如下。
问题：我们能对所有有限群进行分类吗G美元$在哪儿$| g_1 g_2 |=| g_1 | | g_2|$每$g_1、g_2$在里面G美元$具有$\gcd（|g_1|，|g_2|）=1$？如果是，如何？
当然，我所说的“分类”是指同构。我已经用以下事实证明了每个有限幂零群都是有效的每个有限幂零群都是美元$-组并证明该条件适用于所有此类产品。我在帖子末尾附上了我的证明。
我找不到任何其他有效的群的例子。由于幂零群“接近阿贝尔群”，如果只有这些群，我也不会感到惊讶。我们可以试着利用这个事实有限群是幂零的当且仅当两个互素序元素交换。这似乎更合理，因为这种情况似乎与这里的情况类似，但我真的不知道该怎么做。
我走对了吗？我想我们可以使用Sylow的定理更直接地进行，但我不知道如何进行。如果我们能证明G美元$是正常的，那么接下来就是G美元$是幂零的（老实说，我真的不知道该怎么办。如有任何反馈或轻推，我们将不胜感激。）
这是我的证明美元$-小组合作。
让$G=G_1\times\cdots\times G_n$，其中每个$G_i$是有限阶群$p_i^{n_i}$对于一些素数$p_i$和一些正整数$n_i美元$假设素数$p_1，\点，p_n$是截然不同的。让我们来看两个元素$g=（g_1，\点，g_n）$和$h=（h_1，\点，h_n）$属于G美元$并假设它们的顺序是互质的。每个$g_i$和美元h_i$是一组顺序的元素$p_i^{n_i}$，所以他们有订单$p_i^{a_i}$和$p_i^{b_i}$分别针对一些非负整数$a_i，b_i$.的顺序$克$是$$|g|=\operatorname{lcm}（|g_1|，\dots，|g_n|）=\operatorname{lcm}（p_1^{a_1}，\dotes，p_n^{a_n}）=p_1^}}\cdots p_n^}，$$其中最后一个等式使用了素数是不同的这一事实。由此可见$|g美元|$和$|小时|$是互质当且仅当，对于每个1美元$，其中之一$a_i$或b_i美元$为零。让我们重新排序索引，以便$a_1=\cdots=a_j=b_{j+1}=\cdot=b_n=0$.然后$g_1，\点，g_j，h{j+1}，\点子，h_n$是他们各自群体的身份元素，如下所示$$gh=（h1，点，hj，g{j+1}，点，gn）。$$这意味着$$|gh|=\operatorname{lcm}（p_1^{b_1}，\dots，p_j^{b_j}，p_{j+1}^{a_{j+1}}，\ dots，pn^{a_n}）=p_1^}}\cdots p_j{b_j}\cdot p_{j+1}^a_{j+1}}\cdots p_n a_n}=|g|h|，$$我们已经完成了。
