沿所有直线单调的连续函数示例

Question

我正在寻找连续函数的不同示例（如果可能的话，甚至是完整的特征描述），这些函数在所有行上都是单调的。我指的是函数$f\colon X\to\mathbb{R}$这样所有人x中的$x，y\$函数$g_{x，y}:[0,1]\to\mathbb{R}$,$\alpha\mapsto f（\alpha x+（1-\alpha）y）$是单调的。$X\subset\mathbb{R}^n$应该是凸的，以便一切都被很好地定义。

如果$n=1$和X美元$是一个区间，那么很明显，这些只是通常的单调函数。也适用于一般情况n美元$，每个仿射函数对自$f（αx+（1-\alpha）y）=αf（x）+（1-\α）f（y）$。还有哪些其他函数示例满足此属性？

注意，这里有一些简单的函数示例$\big（\text{like}f（x）=\Vert x\Vert^2\big）$如果你修复了某个x美元$（此处$x=0$)，然后$g_{x，y}$对所有人来说都是单调的美元$然而$f美元$并非所有行都是单调的。也可以选择$f美元$表明似乎没有简单的标准，比如看偏导数。

Answer 1

正如我所评论的，有许多“单调函数”形式的例子$\Bbb卢比\至\Bbb R$由线性泛函组成$\Bbb R^n\至$“.输入一般来说，并不是所有的例子都是这种类型的。例如，如果X美元$是露天的吗上半部圆盘缩回$\Bbb R^2美元$，然后是发送点的函数$（x，y）$到其极角$\θ$是线性单音，但不是那种形式（因为级别集彼此不平行）。我将在这个答案中表明，如果X美元$是开放的（您可以在不损失一般性的情况下假设），那么水平集是超平面与X美元$，所以一般来说可以“扫除”的示例X美元$通过不断移动超平面”。我认为这很可能是某种一般性的描述，但我是不确定它有多有用。更有用的是，它是在案例$X=\Bbb R^n$，所有示例实际上都是上述形式的“线性单调构图”，大概是因为唯一可能的扫掠方式是用不改变方向的超平面沿直线扫掠。

所以假设$X\substeq\Bbb R^n$是凸的。我们可以假设X美元$有非空内部，通过传递到的仿射子空间$\Bbb卢比$跨越者X美元$在这种情况下，我们也可以只是工作内部X美元$-所以假设X美元$已打开。假设$f:X\至\Bbb R$是连续的和线性单音的。下面是一些n美元$-维凸几何。我建议假设$n=2美元$或$n=3$如果你需要可视化任何东西。我还没有完全完成细节，并将使用一些直观的“几何”语言符号。

引理。如果设置了液位$f^｛-1｝（年）$非空，则其仿射跨度的维数为最少的$n-1美元$.

证明。我们知道$f^{-1}（y）$是凸起的。让H美元$是的仿射跨度$f^{-1}（y）$.如果H美元$尺寸小于$n-1美元$，然后我们可以二维平面P美元$在里面$\Bbb卢比$相交的H美元$在一个点上f^{-1}（y）中的$x\$.然后$f|_{P\cap X}$极值为x美元$，因为这些值被$f美元$在$（P\cap X）\设置减号\{X\}$是的连接子集$\Bbb R\设置减号\{y\}$但这显然是荒谬的，因为$f美元$.那么的仿射跨度$f^{-1}（y）$至少具有维度$n-1美元$.量化宽松政策。

引理。如果设置了液位$f^{-1}（y）$非空但内部为空，则$f^｛-1｝（年）$是超平面与X美元$.

证明。通过上述，仿射跨度H美元$属于$f^{-1}（y）$至少具有维度$n-1美元$.我们知道$f^{-1}（y）$包含一些相似的独立点跨越H美元$，因此$f^{-1}（y）$包含一些凸面设置$U\子结构H$在中打开的H美元$.自$f^{-1}（y）$假设有内部空荡荡的H美元$是$（n-1）$-维度（即超平面）。让$\pi:X\到H$是正交投影图。

考虑一下这个集合$\pi^{-1}（U）$注意，这个集合是凸的，它被分成两半美元$。来自两个不同两半的点之间的任何线都必须穿过美元$从线单调性可以看出$f>年$一半$f<y$在另一半$\pi^｛-1｝（U）$.让我们说一半在哪里$f>年$处于“正方向H美元$".

还要注意的是X美元$它被分成两半H美元$.假设有一点$x\以x\设置减去H$正方向从H美元$.让x美元$成为重点$\pi^{-1}（U）$，英寸负方向H美元$.通过服用x美元$非常接近美元$，我们可以假设线段$[x，x']$相交美元$（“如果你站得足够近到中的窗口H美元$，然后你可以看到另一边的整个半空间窗户”）。自$f（x'）<y$，我们一定有$f（x）>y$，按行单调性。类似地，如果$x\以x\设置减去H$位于负方向自H美元$，然后$f（x）<y$因此，我们可以推广不等式$f>年$和$f<y$致所有$X\设置减去H$现在，通过连续性那个$f=年$在$小时$-所以$f^{-1}（y）=X\cap H$，根据需要。量化宽松政策。

请注意，标高集可能具有非空的内部。对于例如，考虑函数$x\mapsto\max\{0，x\}$然而，这个引理是强度足以达到以下要求：

引理。如果$X=\Bbb R^n$，则每个线性单音函数都是一个组合具有单调函数的线性泛函。

证明。如果$f美元$是常数，然后就完成了。所以我们可以假设的图像$f美元$是非退化区间。特别地，$f美元$拥有无数许多级别集，只有可数的多个级别集才能拥有非空的内部（作为$\Bbb卢比$可分离）。所有内部为空的级别集超平面，根据前面的引理。这些超平面必须是平行的，因为否则它们会相交。让所有这些超平面的并集X美元$.

让美元\varphi$是一个线性泛函，其核与这些函数平行超平面，使得如果$x'\以x'表示$和$x\以x表示$然后$f（x'）<f（x）$当且仅当$\varphi（x'）$（换句话说，美元\varphi$的符号被选择为与“积极方向”保持一致）。

一般来说，如果美元$是图像中的任意点$f美元$，然后$f（x）=y$相当于$f（x）>y'$为所有人$y'\in f（X'）\cap（-\infty，y）$和$f（x）<y'$为所有人$y'\in f（X'）\cap（y，\infty）$。这是因为$f（X’）$包含图像中的所有点，但数量不多$f美元$，所以美元$可以从上面和下面通过点接近$f（X’）$.

由此可知$f^{-1}（y）$是“厚超平面”$\varphi^{-1}（[a，b]）$哪里$a=\sup\varphi（x中的x'：f（x）<y\}）$和$b=\inf\varphi（x'：f（x）>y\}中的x\{）$.

因此$f美元$可以写为的函数美元\varphi$，当然必须是单调。此功能可以实现到缩放，作为$f美元$对内核的补充美元\varphi$，这是一个简单的方法它是连续的。量化宽松政策。

Answer 2

正如伊扎克·范·东根（Izaak van Dongen）在评论中指出的那样，人们可以考虑水平集的凸性。这就产生了沿所有直线单调的连续函数的特征。

让$X\subseteq\mathbb{R}^n$是凸的（和非空的）并且$f:X\rightarrow\mathbb{R}$连续。

假设$f美元$所有线条都是单调的。让f^{-1}（\{a\}）中的$x，y\$.作为$f_{x，y}$是连续的、单调的和$f_{x，y}（1）=f（x）=a=f（y）=f_{x，y{（0）$，我们明白了$f_｛x，y｝\等价物$是常量。这意味着$f^{-1}（\{a\}）$是凸的。

另一方面，如果$f美元$并非所有线条都是单调的，那么就存在x中的$x，y\$这样的话$f_{x，y}$不是单调的。作为$f_{x，y}$是连续的，这意味着存在$0\leq\lambda_1<\lambda_2<\lampda_3\leq 1$这样的话$f_{x，y}（\lambda_1）=f_{x，y{（\lambda_3）=：a$和$f_{x，y}（\lambda_2）\neq f_{x，y}（\lambda_1）$。这意味着$f^{-1}（\{a\}）$不是凸的。